Question

8．如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C．B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质量不计）．设A以速度v₀朝B运动，压缩弹簧；当AB速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动，假设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
（1）整个系统损失的机械能；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势与第一次AB速度相等时的弹性势能之比．

Answer 1

分析 （1）碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出速度．应用能量守恒定律可以求出损失的机械能．
（2）系统动量守恒，由动量守恒定律求出速度，然后应用能量守恒定律可以求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v₁时，系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=2mv₁，
所以：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
设碰撞后瞬间B与C的速度为v₂，向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁=2mv₂，
解得：v₂=$\frac{{v}_{0}}{4}$；
设B与C碰撞损失的机械能为△E．由能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv₁²=△E+$\frac{1}{2}$•2mv₂²，
联立得整个系统损失的机械能为：△E=$\frac{1}{16}$mv₀²；
（2）第一次AB速度相等时的弹性势能：${E}_{P1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•2m•{v}_{1}^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4}$
由于v₂＜v₁，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，
设此时速度为v₃，弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E_p2，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv₀=3mv₃，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²-△E=$\frac{1}{2}$•3mv₃²+E_P2，
解得：E_P2=$\frac{13}{48}$mv₀²；
所以：$\frac{{E}_{P2}}{{E}_{P1}}=\frac{\frac{13}{48}}{\frac{1}{4}}=\frac{13}{12}$
答：（1）整个系统损失的机械能为$\frac{1}{16}$mv₀²；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势与第一次AB速度相等时的弹性势能之比是$\frac{13}{12}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律和能量守恒定律，综合性较强，关键合理地选择研究的系统，运用动量守恒进行求解．