Question

如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图,其下半部AB是一长为2R的竖直细管,上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管,管口沿水平方向,AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧.投饵时,每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定,在弹簧上端放置一粒鱼饵,解除锁定,弹簧可将鱼饵弹射出去.设质量为m的鱼饵到达管口C时,对管壁的作用力恰好为零.不计鱼饵在运动过程中的机械能损失,且锁定和解除锁定时,均不改变弹簧的弹性势能.已知重力加速度为g.求:

 (1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小;

(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能;

(3)已知地面与水面相距1.5R,若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90角的范围内来回缓慢转动,每次弹射时只放置一粒鱼饵,鱼饵的质量在到m之间变化,且均能落到水面.持续投放足够长时间后,鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少?

Answer 1

【解析】 (1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供,则mg=

由①式解得.②  (1分)

(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能,由机械能守恒定律有

Emg(1.③  (2分)

由②③式解得EmgR.④  (1分)

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响,质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动,设经过t时间落到水面上,离OO′的水平距离为x由平抛运动规律有4.5Rgt  ⑤

⑥  (2分)

由⑤⑥式解得⑦  (1分)

当鱼饵的质量为m时,设其到达管口C时速度大小为,由机械能守恒定律有

Emg(1.5⑧  (2分)

由④⑧式解得v⑨  (1分)

质量为m的鱼饵落到水面上时,设离OO′的水平距离为x则⑩  (1分)

由⑤⑨⑩式解得xR  (1分)

鱼饵能够落到水面的最大面积

SxR或8.R.  (1分)

【答案】 (1)  (2)3mgR  (3)8.R