Question

4．某星球的质量为M，在该星球的表面有一倾角为θ的斜坡，航天员从斜坡顶以初速度v₀水平抛出一个小物体，经时间t小物体落回到斜坡上不计一切阻力，忽略星球的自转，引力常量为G，求航天员乘航天飞行器围绕该星球做圆周运动的最大速度．

Answer 1

分析 根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度；近地卫星的运行速度是环绕速度的最大值，根据重力等于向心力列式求解即可．

解答 解：物体做平抛运动，根据平抛运动的分运动公式，有：
x=v₀t
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
位移偏转角正切值：
tanθ=$\frac{y}{x}$
联立解得：
g=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{t}$
航天员乘航天飞行器围绕该星球做圆周运动，根据运行速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，近地飞行最快；
在地面附近，重力等于引力，故：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$；
故航天员乘航天飞行器围绕该星球做圆周运动的最大速度为：v=$\sqrt{gR}$=$\root{4}{GMg}$=$\root{4}{\frac{2{GMv}_{0}tanθ}{t}}$；
答：航天员乘航天飞行器围绕该星球做圆周运动的最大速度为$\root{4}{\frac{2{GMv}_{0}tanθ}{t}}$．

点评 本题关键是通过平抛运动测量重力加速度，同时明确第一宇宙速度是卫星运行的最大速度，不难．