Question

11．如图所示，用细圆管组成的光滑轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r?R．有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圆管．
（1）若要小球能从C端出来，初速度v₀需多大？
（2）在小球从C端出来的瞬间，管壁对小球的压力为$\frac{1}{2}$mg，那么小球的初速度v₀应为多少？

Answer 1

分析 （1）当球恰好能从C端出来时，速度为零，根据机械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v₀．
当初速度大于和小于临界速度时，管壁对小球的压力均可以为$\frac{1}{2}$mg，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向，即可求出相应的小球的初速度v₀．

解答 解：（1）选AB所在平面为参考平面，从A至C的过程中，根据机械能守恒定律：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$ ①
在最高点C小球速度满：足v_C≥0 ②
由①②得：v₀≥2$\sqrt{gR}$
（2）小球在C处受重力mg和细管竖直方向的作用力F_N，根据牛顿第二定律，得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$③
由①③解得F_N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-5mg ④
讨论④式，可得：
当小球受到向下的压力时，F_N=$\frac{1}{2}$mg，v₀=$\frac{\sqrt{22gR}}{2}$
当小球受到向上的压力时，F_N=-$\frac{1}{2}$mg，v₀=$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$．
答：（1）若要小球能从C端出来，初速度v₀需满不小于2$\sqrt{gR}$；
（2）在小球从C端出来的瞬间，管壁对小球的压力为$\frac{1}{2}$mg，当小球受到向下的压力时v₀为$\frac{\sqrt{22gR}}{2}$；当小球受到向上的压力时，v₀为$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$．

点评 题是机械能守恒定律与向心力知识的结合，考查综合应用物理规律的能力，对于小球在管子里的运动情形与轻杆模型类似，关键抓住临界情况：小球恰好到最高点和在最高点恰好不受管壁作用力两种情况．