Question

如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域，具有束缚带电粒子的作用，中空区域中的带电粒子，只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径为R₁=0.5m，外半径R₂=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被束缚的带电粒子的比荷为q/m=4×10⁷c/kg，中空区域中的带电粒子具有各个方向的速度．试计算：
（1）若粒子沿圆环的半径方向射入磁场，粒子不能穿过磁场的最大速度．
（2）若粒子的速度方向各个方向都有，所有不能穿过磁场的粒子中速度最大的粒子的速度．

Answer 1

分析：（1）粒子若沿径向飞出，临界情况为粒子恰好与外环相切，根据几何关系求出运动的轨道半径，再根据带电粒子在磁场中轨道半径公式求出最大的速度．
（2）粒子沿环状域的内边界圆的切线方向射入磁场时，此时的轨道半径为最小的轨道半径，此时粒子若不能出磁场，则所以粒子都不会出磁场，根据几何关系求出轨道半径，再通过轨道半径公式求出最大的速度．

解答：解：（1）速度最大的沿半径方向飞出的粒子，作圆周运动的轨迹与大圆相切．设其半径为r₁，最大速度为V₁
则：qvB=m

v12

r1

r₁²+R₁²=（R₂-r₁）² 
解得最大速度v₁=1.5×10⁷m/s                               
（2）在环形磁场中作圆周运动的最大半径对应的圆与大、小圆同时相切则，设作圆周运动的半径为r₂，对应的最大速度为V₂则
 qvB=m

v22

r2

                                             
 r2=

R1+R2

2

                                         
解得最大速度v₂=3×10⁷m/s
答：
（1）若粒子沿圆环的半径方向射入磁场，粒子不能穿过磁场的最大速度为v₁=1.5×10⁷m/s
（2）若粒子的速度方向各个方向都有，所有不能穿过磁场的粒子中速度最大的粒子的速度为v₂=3×10⁷m/s

点评：本题对数学几何的能力要求较高，关键找出临界的半径，再通过带电粒子在磁场中的半径公式求出临界的速度．