Question

12．在水平面上有A、B两个物体，均可以看成质点，A物体质量m=1kg，A、B两个物体与水平面间的动摩擦因数分别为μ_A=0.04、μ_B=0.02．A、B两物体在同一直线上相距x₀=7m，如图所示．此时B的速度为4m/s，在摩擦力的作用下向右做减速运动，同时对处于静止状态的A物体施加一水平向右的恒力F=2.2N，g=10m/s²．
求：（1）若水平恒力F始终作用于A物体，A追上B之前，经多长时间两者相距最远；
（2）为保证A追上B，水平恒力F作用于A的最短时间是多少？

Answer 1

分析 （1）前面B物体匀减速，后面A物体匀加速，A的速度小于B的速度时距离增大；速度相等时距离最远；A的速度大于B的速度时距离减小；
（2）追上前A先做匀加速，后做匀减速，水平恒力的最短作用时间应满足相遇时速度相等，即同时满足：①X_A-X_B=X₀；②V_A=V_B．

解答 解：（1）设在拉力作用下A的加速度大小为a₁，B的加速度大小为a₂；根据题意
F-μ_Amg=ma₁    
代入数据解得：a₁=1.8m/s² 
μ_Bm_Bg=m_Ba₂     
代入数据解得：a₂=0.2m/s² 
根据速度相等：a₁t=v₀-a₂t 
代入数据得：t=2s 
（2）设追上前加速时间为t₁，减速时间为t₂，减速时加速度大小为a₃ 
追上前水平恒力的最短作用时间应满足相遇时速度相等，即同时满足：
①X_A-X_B=X₀；
②V_A=V_B
μ_Amg=ma₃      
a₃=0.4m/s²    
$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}+{a}_{1}{t}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}$$-{[v}_{0}（{t}_{1}+{t}_{2}）-\frac{1}{2}{a}_{2}（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}]$=X₀ 
a₁t₁-a₃t₂=v₀-a₂（t₁+t₂）
代入数据解得：t₁=3s 
答：（1）若水平恒力F始终作用于A物体，A追上B之前，经多2秒两者相距最远；
（2）为保证A追上B，水平恒力F作用于A的最短时间是3秒．

点评 注意：追及问题，初始时刻前快后慢，速度相等时距离最大；初始时刻前慢后快，若不能追上，速度相等时距离最小；水平恒力的最短作用时间应并不是追上用时最短，要严加区分，不能误解；如果X₀过大，有可能追上时B已经停止，此时B的位移位移、速度要用分段函数表示．