Question

12．“抛石机”处古代战争中常用的一种设备，其装置简化原理如图所示．“拋石机”长臂的长度L=4.8m，短臂的长度l=0.6m．在某次攻城战中，敌人城墙高度H=12m．士兵们为了能将石块投入敌人城中，在敌人城外堆出了高h=8m的小土丘，在小土丘上使用“抛石机”对敌人进行攻击．士兵将质量m=10.0kg的石块装在长臂末端的弹框中．开始时长臂处于静止状态，与底面夹角α=30°．现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块坡水平抛出且恰好击中城墙正面与小土丘等高的P点，P点与抛出位置间的水平距离x=19.2m．不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s²，求：
（1）石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v；
（2）石块转到最高点时对弹框的作用力；
（3）若城墙上端的宽度为d=3.2m．石块抛出时速度多大可以击中敌人城墙顶部．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出石块平抛运动的初速度，抓住长臂和短臂的角速度相等，求出石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v；
（2）根据牛顿第二定律求出石块转到最高点时对弹框的作用力；
（3）根据平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合水平位移范围求出初速度的范围．

解答 解：（1）石块抛出后做平抛运动，
根据L+Lsinα=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2（L+Lsinα）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（4.8+2.4）}{10}}s=1.2s$，
则石块抛出时的速度${v}_{0}=\frac{x}{t}=\frac{19.2}{1.2}m/s=16m/s$，
长臂和短臂的角速度相同，有：$\frac{{v}_{0}}{L}=\frac{v}{l}$，代入数据解得v=2m/s．
（2）最高点时假设时刻受到布袋的力向下，
根据牛顿第二定律得，$F+mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
解得F=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}-mg=10×\frac{1{6}^{2}}{4.8}-100N$=433N．
根据牛顿第三定律知，石块转到最高点时对弹框的作用力为433N．
（3）击中城墙顶部时，根据h+L+Lsinα-H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，代入数据解得t=0.8s，
击中城墙顶部的水平位移x₀≤x≤（x₀+d），
抛出时初速度$v=\frac{x}{t}$，
代入数据解得24m/s≤v≤28m/s．
答：（1）石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v为2m/s；
（2）石块转到最高点时对弹框的作用力为433N；
（3）石块抛出时速度为24m/s≤v≤28m/s，可以击中敌人城墙顶部．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．