题目内容

16．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度（即大小）都远小于它们之间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当作孤立系统处理，现观察到一对双星A、B绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，其周期为T，A、B之间的距离为L，它们的线速度之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2，试求A、B这两个星体的质量．

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．对m1，G $\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m1R1$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，对m2，G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m2R2$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$．联立后结合半径关系、以及v=ωr 即可求解．

解答 解：设A与B的质量分别为m1和m2，m1的轨道半径为R1，m2的轨道半径为R2．由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
对m1：G $\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m1R1$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，…①
对m2：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=m2R2$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…②
由①②式可得：m1R1=m2R2   ③
 又因为R1十R2=L，④
所以得：R1=$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L，R2=$\frac{{m}_{1}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L；   ⑤
根据公式：v=ωr  ⑥
以及题目中：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=2  ⑦
联立得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{1}{2}$  ⑧
R1=$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L代入 ①式，可得：
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m1$\frac{{m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$L•$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$  
整理得：${m}_{1}+{m}_{2}=\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{G{T}^{2}}$   ⑨
联立⑧⑨可得：m1=$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$；
m2=$\frac{8{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$
答：A、B这两个星体的质量分别为$\frac{4{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$和$\frac{8{π}^{2}{L}^{3}}{3G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．

练习册系列答案
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