Question

如图甲，在x＜0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为q(q＞0)的粒子从坐标原点O处，以初速度v₀沿x轴正方向射人，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的质量。

（1）    求该粒子运动到y=h时的速度大小v;

（2）    现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期。

Ⅰ。求粒子在一个周期内，沿轴方向前进的距离；

Ⅱ当入射粒子的初速度大小为v₀时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A,并写出y-t的函数表达式。

        

Answer 1

解析：此题考查动能定理，洛仑兹力，带电粒子在复合场中的运动等知识点

（1）    由于洛仑兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理

 ……………………………..(1)

由 （1）解得…………………………….(2)

由 图乙可知，所有粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距离，设粒子恰 好沿x轴方向 匀速运动的速度大小为v₁,则qv₁B=qE…………………….(3)

又   s=v₁T………………………….(4)

式中

由（3）（4）式解得

II.设粒子在y方向上的最大位移为y_m（图丙曲线的最高点处），对应的粒子运动速度大小为v₂（方向沿x轴），因为粒子在y方向上的运动为简谐运动，因而在y=0和y=y_m处粒子所受的合外力大小相等，方向相反，则  qv₀B -qE=-(qv₂B-qE),

由动能定理有  -qEy_m=m v₂²-m v₀²，

又  A_y=y_m

由⑥⑦⑧式解得   A_y=( v₀-E/B)。

可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t的函数表达式为y=( v₀-E/B) (1-cost)