Question

15．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒，筒内壁光滑，筒底连接一高H的光滑细直管，细直管出口处固定一个夹角θ=60°、长L的V型水平槽．筒内壁高也为H处有一质量为m的小球，恰好能在水平面沿筒内壁做半径为R的匀速圆周运动，设小球在各接管口处转变速度方向时没有机械能损失，重力加速度取g．
（1）求小球转动的角速度ω；
（2）若小球转动的角速度突然变为ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，求小球落入V型槽时的速度v；
（3）当小球从槽接管口的一端以速度v₀=2$\sqrt{gH}$沿V型槽滑动时，为了使小球不会滑出槽口，则槽面对小球的动摩擦因数μ至少为多大？

Answer 1

分析 （1）小球在圆筒内做圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球转动的角速度大小；
（2）根据机械能守恒求出小球落入V型槽时的速度v；
（3）根据动能定理求出槽面对小球的动摩擦因数大小．

解答 解：（1）小球在筒做匀速转动，它受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，如图1：
则$\frac{mg}{tanα}$=mω²R，
由几何关系可知：tanα=$\frac{R}{H}$，
联立以上两式解得：ω=$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）如果小球转动的角速度改为ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，小球将沿筒内壁向下做螺旋线运动，再进入细直管，整个运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，有：
mg•2H=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（Rω）^{2}$，
解得：v=$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）对小球在V型槽运动进行受力分析，如图2：
由于三个力中每两个力间的夹角为120°，所以每个槽面对小球的支持力N₁=N₂=mg，
所以小球对V型槽间的滑动摩擦力为f=2μN₁=2μmg，
小球沿槽滑动至停止，由动能定理，有：
-fL=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：μ=$\frac{H}{L}$．
答：（1）小球转动的角速度为$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）小球落入V型槽时的速度为$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）槽面对小球的动摩擦因数μ至少为$\frac{H}{L}$．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，掌握动能定理解题的一般步骤，并能灵活运用，对于第三问，也可以根据动力学知识进行求解．