Question

（2009?广州三模）如图所示，间距为L，电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m，电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连连，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为v₁，b的速度为v₂．不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：
（1）t时刻a棒两端的电压
（2）t时刻C的加速度值
（3）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率．

Answer 1

分析：（1）由法拉第定律、欧姆定律回路中感应电流I，a棒产生的电动势：E_a=BLv₁，a棒两端电压为U=E_a-IR．
（2）由F=BIL求出棒a所受的安培力大小，根据牛顿第二定律分别研究棒a和C物体，可求解加速度．
（3）单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能．根据能量守恒求解闭合回路消耗的总电功率．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势 E=

△φ

△t

=BL(v1-v2)  ①
回路中感应电流：I=

E

2R

=

BL(v1-v2)

2R

  ②
a棒产生的电动势：E_a=BLv₁ ③
a棒两端电压：U=E_a-IR  ④
联立②③④解得：U=

BL(v1+v2)

2

（2）对a有，T-BIL=ma ⑤
对C有，Mg-T=Ma  ⑥
联立②⑤⑥以上各式解得：a=

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

（3）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即 P=BILv₁⑦
联立②⑦解得：P=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法二：a棒可等效为发电机，b棒等效为电动机，则  
A棒的感应电动势为：E_a=BLv₁⑧
闭合回路消耗的总电功率为：P=IE_a…⑨
联立②⑧⑨解得：P=BILv1=

B2L2(v1-v2)v1

2R

解法三：闭合回路消耗的热功率为：P=I2?2R=

B2L2(v1-v2)2

2R

…⑩
B棒的机械功率为：P机=BILv2=

B2L2(v1-v2)v2

2R

…（11）
故闭合回路消耗的总电功率为：P=P热+P机=

B2L2(v1-v2)v1

2R

答：
（1）t时刻a棒两端的电压是

BL(v1-v2)

2

．
（2）t时刻C的加速度值是

2MgR-B2L2(v1-v2)

2R(M+m)

．
（3）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率是

B2L2(v1-v2)v1

2R

．

点评：本题综合考查了法拉第电磁感应定律以及电磁感应中的能量守恒．关键理清导体棒的运动情况，选择合适的定律进行求解．