Question

5．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置．质量为m的小球以某一速度进入管内，通过最高点A时，对管壁的作用力为$\frac{1}{2}$mg．求：小球落地点距轨道最低点B的距离的可能值．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律分别求出小球在最高点P的速度大小，离开P点做平抛运动，根据平抛运动的时间和速度分别求出水平位移，即可解答．

解答 解：小球从管口飞出做平抛运动，设落地时间为t，
根据2R=$\frac{1}{2}$gt²，
得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，
当小球对管下部有压力时有：
 mg-$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小球对管上部有压力时有：
 mg+$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$
因此水平位移 x₁=v₁t=$\sqrt{2}$R，或 x₂=v₂t=$\sqrt{6}$R．
答：小球落地点距轨道最低点B的距离的可能值为$\sqrt{2}$R或$\sqrt{6}$R．

点评 解决本题的关键理清小球做圆周运动向心力的来源，知道管子与轻杆模型相似，在最高点对球的弹力方向可能向下，也可能向上，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．