Question

投篮游戏是常见的娱乐项目，图中即是投篮游戏的简化示意图．ABCDE为一固定于地面的篮筐，假设BCD为一半径为R的光滑圆弧面，C为圆弧的最低点，BD的连接与水平地面平行，∠BOD=120°，AB与圆弧BCD相切于B点，DE与圆弧BCD相切于D点．一质量为m的小球（可视为质点）从某位置抛出，恰好沿AB进入轨道，已知AB、DE两点间距离均为2R，小物快与AB、DE间的动摩擦因数均为

1

3

，重力加速度为g，已知小物块第一次经过B点时的速度大小为

3gR

，求：
（1）小物块第一次经过C点时对C点的压力；
（2）足够长时间后，小物块在AB段和DE段经历的总路程s．

Answer 1

分析：（1）从B到C，只有重力做功，由机械能守恒定律或动能定理求出小物块运动到C点的速度大小，再由牛顿第二定律结合向心力公式可求出第一次经过C点时对C点的压力；
（2）小物块只有在AB与DE面上运动才有机械能损失，因此只有当小物块到达B点或D点的速度为零时，将只会在BCD间来回往复运动，且永不停息．所以由动能定理可求出小物块所经历的总路程．

解答：解：（1）从B到C，根据机械能守恒定律有：
 

1

2

mv

2 B

+

1

2

mgR=

1

2

m

v

2 C

在C点，由牛顿第二定律有：
F_C-mg=m

v 2 C

R

解得：F_C=5mg
根据牛顿第三定律，物块对C点的压力为：F_C′=5mg
（2）由于

1

2

mv

2 B

＜mg?2Rsin60°+μmgcos60°?2R
即小球不会脱离篮筐，最终在BD间往复运动，从第一次到B点至最终的B点，根据动能定理，
-μmgcos60°?s=0-

1

2

m

v

2 B

解得：s=9R
答：（1）小物块第一次经过C点时对C点的压力5mg；
（2）足够长时间后，小物块在AB段和DE段经历的总路程s为9R．

点评：考查动能定理，牛顿第二定律，向心力公式的应用，关键值得注意：只有当小物块到达B点或D点速度为零时，才不会越上粗糙斜面．