Question

3．如图所示，一质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端竖直杆的A、B两点上，当两轻绳伸直时，a绳与杆的夹角为30°，b绳水平，已知a绳长为2L，当竖直杆以自己为轴转动，角速度ω从零开始缓慢增大过程中（不同ω对应的轨迹可当成温度的圆周运动轨迹），则下列说法正确的是（　　）

• A． 从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为0
• B． 从开始至b绳伸直但不提供拉力时，小球的机械能增加了mgL$\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． 从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为mgL（2-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$）
• D． 当ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$时，b绳未伸直

Answer 1

分析 从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球要做功，使小球的机械能增加．根据向心力公式求出b刚要伸直时的速度，从而求得小球的机械能增加量，由动能定理求得绳a对小球做功．根据角速度与速度的关系分析b刚伸直时小球的角速度，从而分析出当ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$时绳b是否伸直．

解答 解：ABC、当b绳刚要伸直时，对小球，由牛顿第二定律和向心力公式得：
  水平方向有：F_asin30°=m$\frac{{v}^{2}}{2Lsin30°}$，
  竖直方向有：F_acos30°=mg
解得 v=$\sqrt{gLtan30°}$
小球的机械能增加量为△E=mg•2L（1-cos30°）+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgL（2-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），由功能关系可知，从开始至b绳伸直但不提供拉力时，绳a对小球做功为W=△E=mgL（2-$\frac{5\sqrt{3}}{6}$），故AB错误，C正确．
D、b绳刚好伸直无拉力时，小球的角速度为ω=$\frac{v}{L}$=$\sqrt{\frac{g}{L}tan30°}$
当ω=$\sqrt{\frac{g}{L}}$＞$\sqrt{\frac{g}{L}tan30°}$，所以b绳已经伸直，故D错误．
故选：C

点评 本题的关键是明确明确小球合力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡，要注意分析隐含的临界状态．