Question

20．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′匀速转动，筒口半径和筒高之比为4：3，筒内壁粗糙、内壁上有一质量为m的小物块A，与内壁之间的动摩擦因数为0.5，距筒底的高度为H，当圆筒转动时，以下角速度中，可以使物体与圆筒间有静摩擦力且静摩擦力方向沿简壁向下的是（　　）

• A． $\sqrt{\frac{g}{2H}}$
• B． $\sqrt{\frac{5g}{8H}}$
• C． $\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
• D． $\sqrt{\frac{2g}{H}}$

Answer 1

分析 当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，由重力和支持力的合力提供物块的向心力，由牛顿第二定律求解．
当角速度最大时筒壁对物块的最大静摩擦力沿筒壁向下，由牛顿第二定律列式求解．

解答 解：由于筒口半径和筒高之比为4：3，有几何关系可知，筒内壁与竖直方向之间的夹角θ满足：
tanθ=$\frac{r}{h}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°
当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，由重力和支持力的合力提供物块水平方向的向心力，由牛顿第二定律得：
mgtanθ=mω²r
其中：r=Htanθ
可得：ω=$\sqrt{\frac{g}{H}}$
当角速度最大时筒壁对物块的最大静摩擦力沿筒壁向下，由牛顿第二定律，
竖直方向有：Ncosθ=fsinθ+mg
水平方向有：Nsinθ+fcosθ=mω_m²r
又 f=μN
联立得：ω_m=$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
最大角速度不能超过$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$．
所以：可以使物体与圆筒间有静摩擦力且静摩擦力方向沿简壁向下时：$\sqrt{\frac{g}{H}}$＜ω≤$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
只有C选项符合题意．
故选：C

点评 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．