Question

4．如图所示，在倾角θ=37°的粗糙斜面上距离斜面底端s=1m处有一质量m=1kg的物块，受力如图所示，在倾角θ=37°的粗糙斜面上距离斜面底端s=1m处有一质量m=1kg的物块，受水平恒力F作用由静止开始沿斜面下滑．到达底端时即撤去水平恒力F，然后在水平面上滑动一段距离后停止．不计物块撞击水平面时的能量损失．物块与各接触面之间的动摩擦因数均为μ=0.2，g=10m/s²．求：
（1）若物块运动过程中最大速度为2m/s，水平恒力 F的大小为多少？
（2）若改变水平恒力F的大小，可使物块总的运动时间有一最小值，最小值为多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）物体在斜面上到达斜面底端时的速度最大为2m/s，由运动学公式求出加速度，由牛顿第二定律求的力F；
（2）利用运动学公式求出在斜面上和在水平面上的时间，由数学知识求的最小时间．

解答 解：（1）物块到达斜面底端时速度最大，有：
v²=2as
代入数据得：a=2 m/s²
对斜面上物块受力分析，沿斜面方向上有：
mgsinθ-F cosθ-μ（mgcosθ+Fsinθ）=ma
代入数据解得：F=2.6N；         
（2）设斜面上物块加速度为a，运动时间为t₁，在水平面上运动时间为t₂
则$s=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$
到达底端时速度为$v=\sqrt{2as}=μg{t}_{2}$
则总时间为 $t={t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{\frac{2s}{a}}+\frac{\sqrt{2as}}{μg}$
根据基本不等式，当a=μg=2m/s²时有t最小值，t_min=2s
答：（1）若物块运动过程中最大速度为2m/s，水平恒力 F的大小为2.6N
（2）若改变水平恒力F的大小，可使物块总的运动时间有一最小值，最小值为2s．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式以及动能定理求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．