Question

8．如图所示，一半径R=0.4m的半圆形竖直轨道ACB与光滑的水平面相切于B点，O为圆心，直径AB处于竖直方向，光滑水平面的右端固定一挡板D，质量为m=0.1kg的小球用细线与挡板连接，球和挡板间夹有一轻质弹簧，弹簧的右端固定在挡板上，左端与小球接触但不固连，弹簧处于压缩状态，现剪断细线，小球被弹出后沿水平面及圆轨道运动，重力加速度g=10m/s²．
（1）若小球经过圆弧轨道B时的速度为6m/s，求小球在B点受到圆弧轨道支持力F_N的大小；
（2）若圆弧轨道粗糙，小球以6m/s的速度经过B点后沿圆弧运动，并以3m/s的速度从A点飞出，求小球在圆弧轨道上运动时克服摩擦力做的功W；
（3）若圆弧轨道光滑，要使小球能进入圆弧轨道且在圆弧轨道上运动时中途不脱离轨道，求剪断细线时弹簧的弹性势能应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对小球在B处应用牛顿第二定律即可求解；
（2）对小球在圆弧轨道上运动应用动能定理即可求解；
（3）根据小球不脱离轨道得到小球末状态的位置和速度范围，然后对小球整个运动过程应用机械能守恒即可求解．

解答 解：（1）对小球在B处应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=0.1×10+\frac{0.1×{6}^{2}}{0.4}（N）=10N$；
（2）小球在圆弧轨道上运动只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$-2mgR-W=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-1.35J$，那么，W=1.35-2×0.1×10×0.4（J）=0.55J；
（3）要使小球能进入圆弧轨道且在圆弧轨道上运动时中途不脱离轨道，那么若小球能到达的最高点在BC上时，末速度为零；若小球能到达的最高点在CA上，要使小球不脱离轨道，那么，小球必可到达A点；
小球在运动过程中只有弹簧弹力、重力做功，故机械能守恒；
若小球能到达的最高点在BC上，那么由机械能守恒可得：剪断细线时弹簧的弹性势能E_p=mgh≤mgR=0.4J；
若小球能到达的最高点在A处，那么，对小球在A处应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}_{A}{′}^{2}}{R}$；所以，由机械能守恒可得：${E}_{p}=2mgR+\frac{1}{2}mv{′}^{2}≥\frac{5}{2}mgR=1J$；
故剪断细线时弹簧的弹性势能E_p≤0.4J或E_p≥1J；
答：（1）若小球经过圆弧轨道B时的速度为6m/s，那么小球在B点受到圆弧轨道支持力F_N的大小为10N；
（2）若圆弧轨道粗糙，小球以6m/s的速度经过B点后沿圆弧运动，并以3m/s的速度从A点飞出，则小球在圆弧轨道上运动时克服摩擦力做的功W为0.55J；
（3）若圆弧轨道光滑，要使小球能进入圆弧轨道且在圆弧轨道上运动时中途不脱离轨道，那么剪断细线时弹簧的弹性势能E_p≤0.4J或E_p≥1J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．