Question

12．如图所示，在无穷大的光滑水平面上有两个物块A、B，质量分别为M、m（M＞m），物块A右端拴接轻弹簧l．现用物块B将固定在墙壁上的弹簧2缓慢压缩，当弹簧2的弹性势能为E时，释放物块B．物块B被弹簧2弹开后，碰到弹簧l（不粘连），由于M比m大，物块B被反弹，并将在两弹簧之间往复运动．则从释放物块B开始，在以后整个运动过程中，求：

（1）弹簧l所能获得的最大弹性势能；
（2）若已知M远远大于m，求整个运动过程中弹簧l对物块A的总冲量的最大值．
（3）若已知M=5m，求A、B最后的运动速度．

Answer 1

分析 （1）物体A、B第一次碰撞时，当速度相同时，弹簧压缩的最短，弹性势能最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式后联立求解即可；
（2）M远远大于m，经过n次碰撞后，两物体速度近似相等，弹簧l对物块A的总冲量达到最大值，根据动量定理和能量守恒定律列式求解；
（3）第一次碰撞过程，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；第二次碰撞过程同样根据动量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；通过计算会发现第二次碰撞后B的速度开始小于A的速度．

解答 解：（1）物体A、B第一次碰撞时，当速度相同时，弹簧压缩的最短，弹性势能最大；
对B滑块，根据能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
根据动量守恒定律，有：
mv=（M+m）v′
根据能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}+{E}_{p}$
联立解得：
E_p=$\frac{M}{M+m}E$
（2）M远远大于m，经过多次碰撞后，两个物体速度相同，根据能量守恒定律，有：
E=$\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}$
由于M＞＞m，故：
${v}_{1}=\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$
根据动量定理，弹簧l对物块A的总冲量的最大值为：
I=Mv₁=M$\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$；
（3）已知M=5m，B与A碰撞前，有：
E=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
物体A、B第一次碰撞后，根据动量守恒定律和能量守恒定律，有：
mv=Mv₁+mv₂
E=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
其中：M=5m
联立解得：
${v}_{1}=\frac{1}{3}v$=$\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
v₂=-$\frac{2}{3}v$=-$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
（另一组解是碰撞后两个球的速度均不变，不合实际，舍去）
物体A、B第一次碰撞后，根据动量守恒定律和能量守恒定律，有：
Mv₁-mv₂=Mv₃+mv₄
E=$\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
联立解得：
v₃=$\frac{4}{9}v$=$\frac{4}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$
${v}_{4}=-\frac{1}{9}v$=-$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$
（另一组解是碰撞后两个球的速度均不变，不合实际，舍去）
故此后B反弹后不会在追上A；
答：（1）弹簧l所能获得的最大弹性势能为$\frac{M}{M+m}E$；
（2）若已知M远远大于m，求整个运动过程中弹簧l对物块A的总冲量的最大值为M$\sqrt{\frac{2E}{M+m}}$；
（3）若已知M=5m，A、B最后的运动速度分别为$\frac{4}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$、$\frac{1}{9}$$\sqrt{\frac{2E}{m}}$．

点评 本题是动量与能量综合的问题，关键是明确碰撞过程中系统的动量守恒，同时结合机械能守恒定律列式分析；第三问要对每次碰撞过程讨论，直到不能碰撞为止．