Question

8．一宇宙飞船靠近某行星时，绕行星表面做匀速圆周运动，随后在行星上着陆，为了测定该行星的质量，宇航员带有简单仪器：秒表、天平、弹簧测力计、水银气压计、质量为m的钩码．
（1）请为他设计一个可行性的测量方案，简述步骤；
（2）导出行星质量表达式（引力常量G可作为已知）．

Answer 1

分析 飞船近星球表面飞行的周期，根据万有引力提供圆周运动向心力，着陆后砝码受到星球的万有引力与重力相等，由此两点列方程求解即可．

解答 解：令飞船的质量为m₁，星球的半径为R，质量为M，则飞船绕星球表面飞行时，万有引力提供圆周运动的向心力有：
$G\frac{{m}_{1}M}{{R}^{2}}={m}_{1}R（\frac{2π}{T}）^{2}$
由此得：星球质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
又在星球表面有质量为m的砝码受到星球的引力为F，则：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=F$
得：$R=\sqrt{\frac{GMm}{F}}$
所以$M=\frac{4{π}^{2}}{G{T}^{2}}（\sqrt{\frac{GMm}{F}}）^{3}$
整理得：$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$；
（1）根据以上的星球的质量的表达式可以可知，只需要测量出绕行星表面做匀速圆周运动的周期，和质量为m的钩码受到星球的引力为F，即可求出该星球的质量，所以主要的实验步骤可以设计为：
a、在宇宙飞船靠近行星，绕行星表面做匀速圆周运动时，使用秒表测量出环绕该行星运动的周期；
b、在行星上着陆后，用弹簧测力计测量出质量为m的砝码受到星球的引力为F；
c、根据公式计算出该行星的质量．
（2）行星质量表达式为$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．
答：（1）设计一个可行性的测量方案为a、在宇宙飞船靠近行星，绕行星表面做匀速圆周运动时，使用秒表测量出环绕该行星运动的周期；
b、在行星上着陆后，用弹簧测力计测量出质量为m的砝码受到星球的引力为F；
c、根据公式计算出该行星的质量．
（2）行星质量表达式为$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}G}$．

点评 该题为开放性的设计型题目，要抓住：近地飞行轨道半径等于星球半径，万有引力提供向心力，在星球表面重力与万有引力相等这是解决万有引力问题的两个基本入手点．