题目内容
航天员测得某星球由于自转在t时间内转过的角度为θ，用弹簧秤测得一小物块在两极处的重力为F，同一物块在赤道上的重力为0.8F，求：此星球的密度（已知万有引力常量为G）
分析：两极处的万有引力等于物体的重力，赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差．由θ和t求出星球自转的周期．结合表达式整理可得此星球的密度．
解答：解：设物块的质量为m，星球的质量为M，半径为R，自转周期为T．
在两极处：万有引力等于物体的重力，则有
F=G
在赤道处：赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差，则有
0.8F=G
-m
R
联立以上两式得：M=
根据密度的定义式得：此星球的密度ρ=
=
=
又T=
t
解得，ρ=
答：此星球的密度是
．
在两极处：万有引力等于物体的重力，则有
F=G
| Mm |
| R2 |
在赤道处：赤道处的重力等于万有引力与物体绕地球自转所需的向心力之差，则有
0.8F=G
| Mm |
| R2 |
| 4π2 |
| T2 |
联立以上两式得：M=
| 20π2R3 |
| GT2 |
根据密度的定义式得：此星球的密度ρ=
| M |
| V |
| ||
|
| 15π |
| GT2 |
又T=
| 2π |
| θ |
解得，ρ=
| 15θ2 |
| 4πGt2 |
答：此星球的密度是
| 15θ2 |
| 4πGt2 |
点评：解决本题要知道两极和赤道处万有引力与重力的关系，中等难度．
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