Question

11．天文工作者测得某行星的半径为R₁．它有一颗绕其做圆周运动卫星，卫星轨道半径为R₂，卫星运行周期为T．已知万有引力常量为G．
（1）求该颗卫星加速度；
（2）求该行星的平均密度；
（3）要在该星球上发射一颗靠近表面运行的人造卫星，此卫星的速度为多大？

Answer 1

分析 （1）卫星绕行星做的是匀速圆周运动，结合轨道半径和周期求出卫星加速度；
（2）根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求出行星的质量．再求行星的平均密度．
（3）根据行星表面万有引力提供向心力求解第一宇宙速度，即为此卫星的速度．

解答 解：（1）卫星绕行星做圆周运动，其加速度为：a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$
（2）根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$
可得行星的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}}$
因此该行星的平均密度为：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（3）靠近行星表面运行的人造卫星的轨道半径近似等于行星的半径R₁．由万有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
联立解得：v=$\frac{2π{R}_{2}}{T}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）该颗卫星加速度是$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$；
（2）该行星的平均密度是$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（3）要在该星球上发射一颗靠近表面运行的人造卫星，此卫星的速度为$\frac{2π{R}_{2}}{T}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．

点评 解决本题的关键掌握卫星绕行星运行时，由万有引力提供向心力，运用万有引力定律和圆周运动的规律结合解答．