Question

2．如图所示，第二、三象限存在足够大的匀强电场，电场强度为E，方向平行于纸面向上，一个质量为m，电量为q的正粒子，在x轴上M点（-4r，0）处以某一水平速度释放，粒子经过y轴上N点（0，2r）进入第一象限，第一象限存在一个足够大的匀强磁场，其磁感应强度B=$\sqrt{\frac{Em}{rq}}$的匀强磁场，方向如图所示，不计粒子重力，试求：
（1）粒子初速度v₀；
（2）粒子第一次穿过x轴时的速度；
（3）求粒子第n次穿过x轴时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在竖直向上的匀强电场中做类平抛运动，已知水平位移和竖直位移和电场强度大小，由类平抛运动的规律求出初速度大小．
（2）由类平抛运动运动规律求出粒子射出电场时的速度大小和方向，在磁场时粒子做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力可求得半径大小，将已知条件代入得到半径与题设已知的关系．再由几何关系就能得出粒子第一次穿过x轴时的速度大小和方向．
（3）由第（2）的结论可知，以后粒子只要穿过x轴，则速度方向均与x轴垂直，画出其运动轨迹，则由周期性规律，就能求出位置坐标x．

解答 解：（1）粒子在电场中从M到N点，做类平抛运动，则
x方向：4r=v_ot
y方向：2r=$\frac{1}{2}$at² 
 而qE=ma
联立可得：v₀=2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$
（2）结合x方向：4r=v_ot，y方向：2r=$\frac{1}{2}{v}_{y}t$    则
v₀=v_y，粒子射出电场时  v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=2$\sqrt{\frac{2Eqr}{m}}$方向与水平方向成45°斜向上．
粒子在磁场中运动半径R=$\frac{mv}{qB}$=2$\sqrt{2}$r，由几何关系可知，粒子第一次穿
过x轴时速度    v=2$\sqrt{\frac{2Eqr}{m}}$，方向垂直x轴向下．
（3）粒子轨迹如图所示，分析轨迹可知，粒子第N次穿过x轴时的位置坐标为（x，0），则
 x_N=2r+2$\sqrt{2}$r+4（n-1）$\sqrt{2}$r=2r+2$\sqrt{2}$r（2n-1）（n=1，2，3…）
答：（1）粒子初速度v₀；为2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$．
（2）粒子第一次穿过x轴时的速度；大小为2$\sqrt{\frac{qEr}{m}}$，方向垂直x轴向下．
（3）粒子第n次穿过x轴时的位置坐标  x_N=2r+2$\sqrt{2}$r（2n-1）（n=1，2，3…）

点评 本题是带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的特例，要注意以下几点：①在电场中做类平抛运动，已知水平位移和竖直位移及加速度就能求出初速度．②进入磁场后做匀速圆周运动，进入之前必须求出速度方向，由速度方向、位置坐标、和半径大小，确定圆心位置从而确定粒子经过x轴时的速度大小和方向．③在方向相反的磁场中做匀速圆周运动，由左手定则确定轨迹具有周期性的变化规律．