Question

2．如图所示，质量均为m、电荷量均为q的带正电的粒子A和B（均不计重力）先后以不同的速率从半径为R的圆形匀强磁场区域边界M处沿直径MN方向射入磁场，已知粒子A穿越磁场过程中速度方向偏转了θ角，粒子B在磁场中的运动时间是粒子A的2倍．
（1）求A粒子的轨迹半径．
（2）求A、B两粒子的速率之比．
（3）若让粒子A改从磁场边界上距MN为0.6R的P点沿平行于MN方向以速率v入射，结果粒子A以90°的偏转角射出磁场，求磁感应强度．

Answer 1

分析 （1）电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，找出运动粒子的圆心，结合几何关系即可求出粒子的半径；
（2）同理求出b粒子的半径，结合半径公式即可得出它们的速率关系；
（3）画出轨迹，找出运动粒子的圆心，结合几何关系即可求出粒子的半径由半径公式即可求出磁感应强度．

解答 解：（1）找出A粒子的圆心如图，由图中几何关系得：

$\frac{R}{{r}_{1}}=tan\frac{θ}{2}$
所以：${r}_{1}=\frac{R}{tan\frac{θ}{2}}$ 
（2）由于粒子运动的时间与偏转的角度的关系是：$\frac{t}{T}=\frac{α}{2π}$，由于粒子B在磁场中的运动时间是粒子A的2倍，所以B粒子的偏转角是2θ；
同理求出b粒子的半径：${r}_{2}=\frac{R}{tanθ}$，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，则$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$，得：$r=\frac{mv}{qB}$①
所以：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{tanθ}{tan\frac{θ}{2}}$
（3）粒子A改从磁场边界上距MN为0.6R的P点沿平行于MN方向以速率v入射，轨迹如右图：

PO″与MO交与E点，SF⊥MO交与F点；由图中几何关系可知，r=PO″=SO″；$sin∠POM=\frac{0.6R}{R}=0.6$
所以：∠POM=37°，∠SOM=90°-37°=53°
所以：EP=0.6R，EO=R•cos37°=0.8R；SF=R•sin∠SOM=0.8R，FO=R•cos∠SOM=0.6R，②
所以：O″K=EF=EO-FO=0.2R     ③
设：O″E=KF=x，则x=O″P-PE=（r-0.6R）  ④
由勾股定理得：r²=SK²+O″K²
即：r²=（0.8R-x）²+（0.2R）²  ⑤
联立②③④⑤得：$r=\frac{5}{7}R$⑥
联立①⑥得：$B=\frac{7mv}{5qR}$．
答：（1）A粒子的轨迹半径是$\frac{R}{tan\frac{θ}{2}}$．
（2）A、B两粒子的速率之比是$\frac{tanθ}{tan\frac{θ}{2}}$．
（3）若让粒子A改从磁场边界上距MN为0.6R的P点沿平行于MN方向以速率v入射，结果粒子A以90°的偏转角射出磁场，磁感应强度是$\frac{7mv}{5qR}$

点评 带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题，关键是画出粒子圆周的轨迹，往往用数学知识求半径．