Question

20．如图所示，在倾角为37°的斜面上，一劲度系数k=100N/m的轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点．斜面上方有一半径R=0.2m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于C处，圆弧轨道的最高点为D．斜面AB段光滑，BC段粗糙且长度为0.4m．现将一质量为1kg的小物块从C点由静止释放，小物块将弹簧压缩了0.2m后速度减为零（不计小物块到达B处与弹簧碰撞时的能量损失）．已知弹簧弹性势能表达式E_k=$\frac{1}{2}$kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（计算结果可保留根号）求：
（1）小物块与斜面BC段间的动摩擦因数μ
（2）小物块第一次返回BC面上时，冲到的最远位置
（3）若用小物块将弹簧压缩，然后释放，要使小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道，则压缩时压缩量应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对物体从B到C的过程分析，由动能定理列式可求得物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）设小物块最远将冲到E点，则由动能定理得BE长度；
（3）若用小物块将弹簧压缩，然后释放，要使小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道，分两类情况，一种是不超过与O水平的点F点，一种为能到达最高点D，然后根据动能定理和牛顿运动定律解答．

解答 解：（1）由动能定理得：$mg（BC+x）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-\frac{1}{2}k{x^2}=0$
解得：μ=0.5 
（2）设小物块最远将冲到E点，则由动能定理得：$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BE）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BE=0$
解得：BE=0.08m，即最远冲到距B点为0.08m的E位置．
（3）要使小物块不脱离圆弧轨道，则小物块应到达图中F点时速度减为零则有：
$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC$＞0 
$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-mgRcos{37^0}$≤0 
解得：$\frac{{6+\sqrt{836}}}{100}$＜x≤$\frac{{6+\sqrt{1156}}}{100}$即：0.349m＜x≤0.4m 
若恰过最高点D，则有：$\frac{1}{2}k{x^2}-mg（x+BC）sin{37^0}-μmgcos{37^0}BC-mg（R+Rcos{37^0}）$≥$\frac{1}{2}mgR$
解得：x≥$\frac{{6+\sqrt{1756}}}{100}$即：x≥0.479m 
答：：（1）小物块与斜面BC段间的动摩擦因数μ=0.5；
（2）小物块第一次返回BC面上时，冲到最远点E，求BE长为0.08m；
（3）若用小物块将弹簧压缩，然后释放，要使小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道，则压缩时压缩量应满足的条件0.349m＜x≤0.4m或x≥0.479m．

点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律及竖直面内的圆周运动，解题的关键在于明确能达到E点的含义及小物块在CD段圆弧轨道上运动且不脱离圆弧轨道的含义，并能正确列出动能定理及理解题目中公式的含义．