Question

18．如图甲所示，在边界MN左侧存在斜方向的匀强电场E₁，在MN的右侧有竖直向上、场强大小为E₂=0.4N/C的匀强电场，还有垂直纸面向内的匀强磁场B（图甲中未画出）和水平向右的匀强电场E₃（图甲中未画出），B和E₃随时间变化的情况如图乙所示，P₁P₂为距MN边界2.28m的竖直墙壁，现有一带正电微粒质量为4×10^-7kg，电量为1×10^-5C，从左侧电场中距MN边界$\frac{1}{15}$m的A处无初速释放后，沿直线以1m/s速度垂直MN边界进入右侧场区，设此时刻t=0s，取g=10m/s²．求：
（1）MN左侧匀强电场的电场强度E₁（sin37°=0.6）；
（2）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度；
（3）带电微粒在MN右侧场区中运动多长时间与墙壁碰撞？（$\frac{1.2}{2π}$≈0.19）

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成与分解可求得电场强度；
（2）带电粒子在复合场中做匀速圆周运动，则重力等于电场力；根据带电粒了在磁场中的运动规律明确转动时间，则可确定其速度方向；
（3）根据带电粒子在右侧混合场中的运动情况，明确粒子何时才能与墙壁相碰撞．

解答 解：（1）设MN左侧匀强电场场强为E₁，方向与水平方向夹角为θ．
沿水平方向有　 　qE₁cosθ=ma                   
沿竖直方向有　 　qE₁sinθ=mg                    
对水平方向的匀加速运动有　      v²=2as         
代入数据可解得　　E₁=0.5N/C  　　θ=53°         
即E₁大小为0.5N/C，方向与水平向右方向夹53°角斜向上．
（2）带电微粒在MN右侧场区始终满足　qE₂=mg                              
在0～1s时间内，带电微粒在E₃电场中 a=$\frac{q{E}_{3}}{m}$=$\frac{1×1{0}^{-5}×0.004}{4×1{0}^{-7}}$=0.1m/s²；
带电微粒在1s时的速度大小为　 v₁=v+at=1+0.1×1=1.1m/s                  
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中运动，
周期为T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2π×4×1{0}^{-7}}{1×1{0}^{-5}×0.08π}$=1s；
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中正好作半个圆周运动．所以带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度大小为1.1m/s，方向水平向左．           
（3）在0s～1s时间内带电微粒前进距离　s₁=vt+$\frac{1}{2}$at²=1×1+$\frac{1}{2}$×0.1×1²=1.05m
带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径　r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{4×1{0}^{-7}×1.1}{1×1{0}^{-5}×0.08π}$=$\frac{1.1}{2π}$m；
因为r+s₁＜2.28m，所以在1s～2s时间内带电微粒未碰及墙壁．
在2s～3s时间内带电微粒作匀加速运动，加速度仍为　a=0.1m/s²，
在3s内带电微粒共前进距离
s₃=vt³+$\frac{1}{2}$at₃²=1×2+$\frac{1}{2}×0.1×4$=2.2m           
在3s时带电微粒的速度大小为　v₃=v+at₃+1+0.1×2=1.2m/s
在3s～4s时间内带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径
r3=$\frac{m{v}_{3}}{qB}$=$\frac{4×1{0}^{-7}×1.2}{1×1{0}^{-5}×0.08π}$=0.19m；
因为r₃+s₃＞2.28m，所以在4s时间内带电微粒碰及墙壁．
带电微粒在3s以后运动情况如右图，其中 d=2.28-2.2=0.08m        

sinθ=$\frac{d}{{r}_{3}}$=$\frac{0.08}{0.16}$=0.5
θ=30°               
所以，带电微粒作圆周运动的时间为
t3=$\frac{{T}_{3}}{12}$=$\frac{2πm}{12qB}$=$\frac{2π×4×1{0}^{-7}}{12×1×1{0}^{-5}×0.08π}$=$\frac{1}{12}$s      
带电微粒与墙壁碰撞的时间为　t_总=3+$\frac{1}{12}$=$\frac{37}{12}$s
答：（1）MN左侧匀强电场的电场强度E₁为0.5N/C；
（2）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度为1.1m/s；方向向左；
（3）带电微粒在MN右侧场区中运动$\frac{37}{12}$s与墙壁碰撞

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意能正确分析带电物体的运动情况及运动情况，结合带电粒子在电场和磁场中的运动规律灵活选择物理规律求解．