Question

如下图所示，在光滑的水平面上钉两枚铁钉A、B，相距0.1米．长1米的柔软细线一端拴在A上，另一端拴一个质量为500克的小球．小球的初始位置在AB连线上A的一侧．把细线拉直，给小球以2米/秒、垂直于细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B的存在，使细线逐渐缠绕在AB上．问：(1)如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？(2)如果细线的抗断张力为7牛，从开始运动到细线裂断需经历多长的时间？

Answer 1

答案：
解析：

在光滑的水平面上，小球以恒定速率v不断交替以A、B为圆心作匀速率圆周运动，其运动半径逐渐变小．小球所受细线的拉力F提供向心力，即F＝mv2/r，显然拉力F随半径r的减小而增大．所需时间t用t＝S/v计算，随着小球运动半径的减小，小球通过每半小圆周的时间t逐渐地减小． 　　 在第一个半圆内，F1＝mv2/L0，t1＝πL0/v 在第二个半圆内，F2＝mv2/(L0－S)，t2＝π(L0－s)/v 在第三个半圆内，F3＝mv2/(L0－2S)，t2＝π(L0－2S)/v． 　　…… 在第n个半圆内，Fn＝mv2/[L0－(n－1)S]， 　　　　    tn＝π[L0－(n－1)S]/v．其中，n＝L0/S＝10． 小球从开始运动到细线完全缠绕在AB上的时间为 　　　　　　  t＝t1＋t2＋…＋tn 　　　　　　   ＝{nL0－[1＋2＋3＋…＋(n－1)]S} 　　　　    ＝[nL0－S]≈8.6秒 　　设小球从开始运动到第n个半圆周时，细线中的拉力Fn＝7牛，由Fn＝解得n＝8．所以，小球从开始运动到细线断裂所需的时间为： 　　　　 ＝[nL0－S]＝8.2s