题目内容

2．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上O点的转轴上，另一端与一质量为m、套在粗糙固定直杆A处的小球（可视为质点）相连，直杆的倾角为30°，OA=OC，B为AC的中点，OB等于弹簧原长，小球从A处由静止开始下滑，初始加速度大小为aA，第一次经过B处的速度为v，运动到C处速度为0，后又以大小为aC的初始加速度由静止开始向上滑行，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．小球可以返回到出发点A处
B．弹簧具有的最大弹性势能为$\frac{1}{2}$mv2
C．撤去弹簧，小球可以在直杆上处于静止
D．aA-aC=g

分析 对小球A到B的过程和A到C的过程，分别根据能量守恒定律列式，可求得弹簧具有的最大弹性势能，由牛顿第二定律研究A、C两点的加速度，相比较可得到aA-aC=g．根据重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的关系，判断出撤去弹簧，小球在直杆上不能处于静止．

解答 解：AB、设小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为Wf，AB间的竖直高度为h，小球的质量为m，弹簧具有的最大弹性势能为Ep．
根据能量守恒定律得：
对于小球A到B的过程有：mgh+Ep=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Wf，
A到C的过程有：2mgh+Ep=2Wf+Ep，解得：Wf=mgh，Ep=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
小球从C点向上运动时，假设能返回到A点，则由能量守恒定律得：
  Ep=2Wf+2mgh+Ep，该式违反了能量守恒定律，可知小球不能返回到出发点A处．故A错误，B正确．
C、设从A运动到C摩擦力的平均值为$\overline{f}$，AB=s，由Wf=mgh得：
   $\overline{f}$s=mgssin30°
在B点，摩擦力 f=μmgcos30°，由于弹簧对小球有拉力（除B点外），小球对杆的压力大于μmgcos30°，所以$\overline{f}$＞μmgcos30°
可得 mgsin30°＞μmgcos30°，因此撤去弹簧，小球不能在直杆上处于静止．故C错误．
D、根据牛顿第二定律得：
在A点有：Fcos30°+mgsin30°-f=maA；
在C点有：Fcos30°-f-mgsin30°=maC；
两式相减得：aA-aC=g．故D正确．
故选：BD

点评 解决本题的关键要灵活运用能量守恒定律，对系统分段列式，要注意本题中小球的机械能不守恒，也不能只对小球运用能量守恒定律列方程，而要对弹簧与小球组成的系统列能量守恒的方程．

练习册系列答案
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