Question

4．如图，两平行金属导轨相距L、足够长，与水平面成θ角倾斜放置构成一个斜面．导轨间用一阻值为R的电阻丝相连，R上方磁场垂直斜面向上，R下方磁场沿斜面向上，磁感应强度大小均为B．初始时金属棒ab、cd放在金属导轨上设法使其保持静止，棒与导轨间的动摩擦因数均为μ，且μ＜tanθ．两棒质量均为m、电阻均为R，导轨电阻不计．释放cd棒的同时，对ab施加一沿导轨向上的变力F，使其以恒定加速度a由静止开始沿斜面向上做匀加速运动．求：
（1）t时刻通过ab棒的电流；
（2）t时刻ab棒所受拉力F的大小；
（3）当cd棒速度达到最大时，通过cd棒的电流及电阻R的发热功率P．

Answer 1

分析 （1）ab棒做匀加速运动，由v=at求出t时刻的速度，由E=BLv求出感应电动势，再由闭合电路欧姆定律求通过ab棒的电流；
（2）分析ab棒的受力情况，求出安培力大小，再由牛顿第二定律求拉力F的大小；
（3）当cd棒速度达到最大时，做匀速直线运动，受力平衡．由平衡条件和安培力公式求出感应电流的大小，再由功率公式求解电阻R的发热功率P．

解答 解：（1）t时刻，ab棒的速度为 v=at                                  
此时ab棒接入电路部分产生的感应电动势为 E=BLv=BLat      
通过ab棒的感应电流为 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$    
总电阻 R_总=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R           　　　　　　　　　
解得I=$\frac{2BLat}{3R}$
（2）ab棒受力如图所示

沿导轨方向，由牛顿第二定律得：F-mgsinθ-f₁-F_安1=ma 
又  f₁=μN₁=μmgcosθ
F_安1=BIL          
联立解出 F=mgsinθ+μmgcosθ+ma+$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}at}{3R}$
（3）cd棒受力如图所示，易知cd棒先做加速度逐渐减小的变加速运动，然后做加速度逐渐变大的变减速运动，当cd棒合外力为零时，速度最大．

由平衡条件得：mgsinθ=μ（mgcosθ+BI_cdL）
解出 I_cd=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}$
又I_R=I_cd                                  
故此时电阻R上的发热功率为 P=${I}_{R}^{2}$R=$（\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}）^{2}$R
答：
（1）t时刻通过ab棒的电流为$\frac{2BLat}{3R}$；
（2）t时刻ab棒所受拉力F的大小为mgsinθ+μmgcosθ+ma+$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}at}{3R}$；
（3）当cd棒速度达到最大时，通过cd棒的电流为$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}$，电阻R的发热功率P为$（\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}）^{2}$R．

点评 本题中电磁感应与力学知识的综合，安培力是桥梁，推导法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导安培力表达式是关键．