Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。D点位于水平桌面最右端，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离为R，P点到桌面右侧边缘的水平距离为2R。用质量m1＝0.4 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点。用同种材料、质量为m2＝0.2 kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x＝6t－2t2，物块从D点飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道。取g＝10 m/s2，求：

（1）BD间的水平距离；

（2）判断m2能否沿圆轨道到达M点；

（3）m2释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功。

Answer 1

解：（1）设物块由D点以vD做平抛运动，落到P点时其竖直分速度为vy＝

＝tan 45°

得vD＝＝4 m/s

物块m2过B点后的初速度v0＝6 m/s，加速度a＝－4 m/s2，BD间位移为sBD＝＝2.5 m。                                           （5分）

（2）若物块m2能沿轨道到达M点，其速度为vM，由动能定理得

m2v－m2v＝－m2gR

轨道对物块的压力为FN，

则FN＋m2g＝m2

解得FN＝（1－）m2g＜0　即物块不能到达M点。        （5分）

（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为Ep，物块与桌面间的动摩擦因数为μ

释放m1时，Ep＝μm1gsCB

释放m2时，Ep＝μm2gsCB＋m2v

得Ep＝7.2 J

m2释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为Wf，

则由能量转化及守恒定律得：

Ep＝Wf＋m2v

可得Wf＝5.6 J.                                        （7分）