Question

20．如图所示，竖直固定轨道abcd段光滑，长为L=1.0m的平台de段粗糙，abc段是以O为圆心的圆弧．小球A和B紧靠一起静止于e处，B的质量是A的4倍．两小球在内力作用下突然分离，A分离后向左始终沿轨道运动，与de段的动摩擦因数μ=0.2，到b点时轨道对A的支持力等于A所受重力的$\frac{3}{5}$，B分离后刚好能冲上倾角α=30⁰的光滑斜坡ef顶端，ef的长度d=0.1m，g取10m/s²，求：

（1）AB分离时B的速度大小v_B；
（2）A到达d点时的速度大小v_d；
（3）圆弧abc的半径R．

Answer 1

分析 （1）分离后做平抛运动，由平抛运动规律可以求得B的速度；
（2）AB分离时，由动量守恒定律列式，A球由e到d根据动能定理列式，联立方程即可求解；
（3）A球由d到b根据机械能守恒定律列式，在b点根据牛顿第二定律列式，联立方程即可求解；

解答 解：（1）B球上升过程，机械能守恒，设B球的质量为m_B，f点的高度为h，
则 h=d sinα=0.05m         
$\frac{1}{2}$m_Bv_B²=m_Bgh          
V_B=1.0m/s        
（2）A、B两球分离时水平方向只有内力作用，系统动量守恒，设分离时A球的速度大小为V_A，A球的质量为m_A规定水平向右为正方向，则有
4m_AV_B-m_A V_A=0              
V_A=4.0m/s                     
A球由e点运动到d点，满足动能定理．
-m_AgμL=$\frac{1}{2}$m_Av_d²-$\frac{1}{2}$m_Av_A²       
带入数据，解得V_d=2$\sqrt{3}$m/s．
（3）A球在b点时，满足牛顿运动定律
m_Ag-N=m_A$\frac{{{v}_{b}}^{2}}{R}$            
由已知条件得：N=$\frac{3}{5}$m_Ag         
A球由d点运动到b点，机械能守恒，
m_AgR+$\frac{1}{2}$m_Av_b²=$\frac{1}{2}$m_Av_B² 
带入数据解得：R=0.5m       
 答：（1）AB分离时B的速度大小为1 m/s；
（2）A到达d点时的速度大小为2$\sqrt{3}$m/s；
（3）圆弧abc的半径R为0.5m．

点评 本题考查了动量守恒、动能定理、机械能守恒定律等规律的直接应用，较好的考查了学生综合应用知识的能力．