Question

9．如图所示，滑块A通过轻细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B下端通过一轻质弹簧连接物块C，物块B、C静止在倾角α=30°的光滑固定斜面上，P为固定在斜面底端的挡饭．开始用手托住A，使绳子刚好伸直但无张力．现将A由静止释放，至C刚离开档板时，B仍在斜面上且A未着地，已知B所受细绳拉力的方向始终与斜面平行，m_A=1.2kg，m_B=m_C=2.0kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，g取10m/s²．求：
（1）A速度最大时A下降的距离h；
（2）C刚离开档板时B物块的加速度a；
（3）A由静止释放至C刚离开档板的过程中，细绳对A所做的功W．

Answer 1

分析 （1）根据胡克定律求出弹簧原来的压缩量，当A的加速度为零时，速度最大，求出绳子拉力，再对B受力分析求出弹簧的伸长量，则弹簧的伸长量和压缩量之和即为A速度最大时A下降的距离h；
（2）C刚离开挡板时，挡板对C的支持力为零，对C，根据平衡条件求出弹簧弹力，再分别对A和B根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（3）求出C刚离开挡板时，弹簧的伸长量，A由静止释放至C刚离开档板的过程，分别对ABC以及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律列式，对A，根据动能定理列式，联立方程求解．

解答 解：（1）未释放A时，B处于静止状态，受力平衡，对B受力分析，受到重力、斜面的支持力以及弹簧弹力作用，根据平衡条件得：
kx₁=m_Bgsin30°
解得：x₁=$\frac{20×\frac{1}{2}}{100}=0.1m$
当A的加速度为零时，速度最大，此时绳子拉力T=m_Ag=12N，
由于T＜（m_B+m_C）gsin30°=20N，所以此时C仍然处于静止状态，
a的加速度为零，则B的加速度也为零，对B，根据平衡条件得：
T=m_Bgsin30°+kx₂
解得：x₂=0.02m，
则A下降的高度h=x₁+x₂=0.1+0.02=0.12m，
（2）C刚离开挡板时，挡板对C的支持力为零，对C，根据平衡条件得：
F_弹=m_Cgsin30°=10N，
对B，根据牛顿第二定律得：
T-F_弹-m_Bgsin30°=m_Ba，
对A，根据牛顿第二定律得：
m_Ag-T=m_Aa，
解得：a=-2m/s²，即B的加速度大小为2m/s²，方向沿斜面向下，
（3）A由静止释放至C刚离开档板的过程中，A下降的距离${h}_{1}={x}_{1}+\frac{{F}_{弹}}{k}=0.1+0.1=0.2m$，
弹簧原来压缩量为0.1m，C刚离开档板弹簧伸长量也为0.1m，则此过程中，弹簧的弹性势能不变，
对ABC以及弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}={m}_{A}g{h}_{1}-{m}_{B}g{h}_{1}sin30°$
解得：v=0.5m/s
对A，根据动能定理得：
${m}_{A}g{h}_{1}+W=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
解得：W=-2.25J
答：（1）A速度最大时A下降的距离h为0.12m；
（2）C刚离开档板时B物块的加速度大小为2m/s²，方向沿斜面向下；
（3）A由静止释放至C刚离开档板的过程中，细绳对A所做的功为-2.25J．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律等，综合性较强，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，对学生的要求较高，要加强这类题型的训练．