题目内容
（2013?宝应县一模）在xoy平面直角坐标系的第Ⅰ象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，如图所示，OA与y轴所夹区域存在y轴负方向的匀强电场，其它区域存在垂直坐标平面向外的匀强磁场；有一带正电粒子质量m，电量q，从y轴上的P点沿着x轴正方向以大小为v0的初速度射入电场，运动一段时间沿垂直于OA方向经过Q点进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场．已知OP=h，不计粒子的重力．（1）求粒子垂直射线OA经过Q点的速度vQ；
（2）求匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值；
（3）粒子从M点垂直进入电场后，如果适当改变电场强度，可以使粒子再次垂直OA进入磁场，再适当改变磁场的强弱，可以使粒子再次从y轴正方向上某点垂直进入电场；如此不断改变电场和磁场，会使粒子每次都能从y轴正方向上某点垂直进入电场，再垂直OA方向进入磁场…，求粒子从P点开始经多长时间能够运动到O点？
分析：（1）由类平抛运动的规律可求得经过Q点速度；
（2）由电场中的类平抛和磁场中的圆周运动可解得电场与磁场强度的比值；
（3）求出第一次离子在电场和磁场中的运动时间，以此类推求出第二次、第三次的运动时间，然后根据数学知识求和即可．
（2）由电场中的类平抛和磁场中的圆周运动可解得电场与磁场强度的比值；
（3）求出第一次离子在电场和磁场中的运动时间，以此类推求出第二次、第三次的运动时间，然后根据数学知识求和即可．
解答：
解：（1）设垂直OA到达Q点的速度为vQ，将速度分解为水平方向的v0和竖直方向的vy，如图所示，则
vy=
=
v0
vQ=
=2v0
（2）做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点O即为轨迹圆的圆心，OQ为轨迹圆的半径，设为R．
在电场中的运动，由类平抛的知识可得：
x=
R=v0t1 vy=
v0=
t1，
可求得E=
在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得：
2qv0B=
，B=
所以
=v0
（3）设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为R1，在电场中运动的时间为t11，在磁场中运动的时间为t12，在电场、磁场中运动的总时间为t1，则有
t11=
=
，t12=
×
=
，t1=t11+t12=
+
=(
+
)
又由h-
=
×t11=
×
=
R1
解得，R1=
h
从而有t1=(
+
)
=(
+
)
=(
+
)
由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二次在磁场中做圆周运动的半径为R2，在电场中运动的时间为t21，在磁场中运动的时间为t22，在电场、磁场中运动的总时间为t2，类似上面的求解，有
t21=
=
，t22=
×
=
，t2=t21+t22=(
+
)
又由R1-
=
×t21=
v0×
=
R2
解得，R2=
R1，将此结果代入上式可得
t2=
×(
+
)
=
t1
…类推可知，粒子第n次在电场、磁场中运动的总时间 tn=(
)n-1t1
所以粒子最终运动到O点的时间为
t=
=
t1=
×(
+
)×
=(
+
)
答：（1）粒子垂直射线OA经过Q点的速度为2v0；（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值为v0；（3）粒子从P点开始经(
+
)
能够运动到O点．
解：（1）设垂直OA到达Q点的速度为vQ，将速度分解为水平方向的v0和竖直方向的vy，如图所示，则vy=
| v0 |
| tan30° |
| 3 |
vQ=
| v0 |
| sin30° |
（2）做出粒子在磁场中的运动轨迹如图，根据几何知识可得出原点O即为轨迹圆的圆心，OQ为轨迹圆的半径，设为R．
在电场中的运动，由类平抛的知识可得：
x=
| ||
| 2 |
| 3 |
| qE |
| m |
可求得E=
| 2mv02 |
| qR |
在磁场中的运动，由圆周运动的知识可得：
2qv0B=
| m(2v0)2 |
| R |
| 2mv0 |
| qR |
所以
| E |
| B |
（3）设粒子第一次在磁场中做圆周运动的半径为R1，在电场中运动的时间为t11，在磁场中运动的时间为t12，在电场、磁场中运动的总时间为t1，则有
t11=
| ||||
| v0 |
| ||
| 2v0 |
| 5 |
| 6 |
| 2πR1 |
| 2v0 |
| 5πR1 |
| 6v0 |
| ||
| 2v0 |
| 5πR1 |
| 2v0 |
| ||
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| R1 |
| v0 |
又由h-
| R1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2v0 |
| 3 |
| 4 |
解得，R1=
| 4 |
| 5 |
从而有t1=(
| ||
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| R1 |
| v0 |
| ||
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| 4h |
| 5v0 |
2
| ||
| 5 |
| 2π |
| 3 |
| h |
| v0 |
由题意知，改变电场、磁场的强弱后，粒子重复前面的运动情况，又设粒子第二次在磁场中做圆周运动的半径为R2，在电场中运动的时间为t21，在磁场中运动的时间为t22，在电场、磁场中运动的总时间为t2，类似上面的求解，有
t21=
| ||||
| 2v0 |
| ||
| 4v0 |
| 5 |
| 6 |
| 2πR2 |
| 4v0 |
| 5πR2 |
| 12v0 |
| ||
| 4 |
| 5π |
| 12 |
| R2 |
| v0 |
又由R1-
| R2 |
| 2 |
2
| ||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 4v0 |
| 3 |
| 4 |
解得，R2=
| 4 |
| 5 |
t2=
| 4 |
| 5 |
| ||
| 4 |
| 5π |
| 12 |
| R1 |
| v0 |
| 4 |
| 5 |
…类推可知，粒子第n次在电场、磁场中运动的总时间 tn=(
| 2 |
| 5 |
所以粒子最终运动到O点的时间为
t=
| t1 | ||
1-
|
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
2
| ||
| 5 |
| 2π |
| 3 |
| h |
| v0 |
2
| ||
| 3 |
| 10π |
| 9 |
| h |
| v0 |
答：（1）粒子垂直射线OA经过Q点的速度为2v0；（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值为v0；（3）粒子从P点开始经(
2
| ||
| 3 |
| 10π |
| 9 |
| h |
| v0 |
点评：此题考查带电粒子在电磁场中的运动情况，并能运用数学知识解答物体问题，属于难题．
练习册系列答案
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