Question

20．如图所示，竖直面内有一半径为R的圆形轨道，一质量为m的小球从斜轨道上的A点由静止释放，沿轨道滑下，斜轨道的倾角为α，各处的摩擦均不计．求：
（1）为使小球能完成圆周运动，释放点A距水平地面的高度h至少要为多少？
（2）让小球从h′=2R处由静止下滑，小球将从圆轨道的何处脱离？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出小球恰好通过最高点的速度，再由机械能守恒求解h的最小值．
（2）小球要脱离轨道时，由重力的径向分力充当向心力，由牛顿第二定律求得刚脱离时的速度，由机械能守恒求解脱离处的高度．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点时，由重力提供向心力，则有
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=$\sqrt{gR}$
根据机械能守恒得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=$\frac{5R}{2}$
（2）当要脱离时，令半径与水平方向夹角为θ，
由牛顿第二定律得 $mgsinθ=\frac{{m{v^2}}}{R}$
由机械能守恒得 $2mgR=\frac{1}{2}m{v^2}+mgR（1+sinθ）$
得$sinθ=\frac{2}{3}$
故离地高$\frac{5R}{3}$处脱离．
答：
（1）为使小球能完成圆周运动，释放点A距水平地面的高度h至少要为$\frac{5R}{2}$．
（2）让小球从h′=2R处由静止下滑，小球将从圆轨道上离地高$\frac{5R}{3}$处脱离．

点评 分析清楚小球临界状态的条件是解决本题的关键，应用机械能守恒定律和牛顿第二定律即可正确解题．