Question

19．如图所示，在边长为a的正方形ABCD的对角线AC左右两侧，分别存在垂直纸面向内磁感应强度为B的匀强磁场和水平向左电场强度大小为E的匀强电场，AD、CD是两块固定荧光屏（能吸收打到屏上的粒子）．现有一群质量为m、电量为q的带正电粒子，从A点沿AB方向以不同速率连续不断地射入匀强磁场中，带电粒子速率范围为$\frac{aqB}{12cm}$≤v≤$\frac{aq{B}^{2}}{m}$．已知E=$\frac{aq{B}^{2}}{12m}$，不计带电粒子的重力和粒子之间的相互作用．求：
（1）恰能打到荧光屏C D上的带电粒子的入射速度；
（2）AD、CD两块荧光屏上形成亮线的长度．

Answer 1

分析 （1）恰能打到荧光屏CD上的带电粒子在磁场中先做四分之一圆周，然后在电场中做匀减速直线运动到零，结合动能定理和粒子在磁场中的半径公式求出恰能打到荧光屏C D上的带电粒子的入射速度．
（2））$v＞\frac{aqB}{3m}$的带电粒子在磁场中的运动半径大于r，在电场中减速运动时，以一定的速度直接打在荧光屏CD上，其中入射速度$v=\frac{aqB}{m}$的粒子半径为a，将直接打到C点，故荧光屏CD上亮线的长度为${l}_{1}=\frac{2}{3}a$；而$v≤\frac{aqB}{3m}$的带电粒子在磁场中的运动半径小于r，进入电场后在电场力的作用下减速运动，不能打到CD上又反向加速，以原速率进入磁场，又在磁场中转$\frac{3}{4}$周后，垂直电场方向进入电场，在电场中作类平抛运动，若打在荧光屏AD上，结合类平抛运动的规律，运用运动学公式求出荧光屏AD上亮线长度．

解答 解：（1）带电粒子射入匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速园周运动，经四分之一周到达对角线沿水平向右的方向进入匀强电场，在电场力的作用下做匀减速直线运动，设带电粒子到达CD的速度恰好为零时对应的入射速度为V，在磁场中的运动半径为r，有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
$qE（a-r）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
结合已知条件解得：r=$\frac{1}{3}a$，
故有：v=$\frac{aqB}{3m}$．
（2）$v＞\frac{aqB}{3m}$的带电粒子在磁场中的运动半径大于r，在电场中减速运动时，以一定的速度直接打在荧光屏CD上，其中入射速度$v=\frac{aqB}{m}$的粒子半径为a，将直接打到C点，故荧光屏CD上亮线的长度为${l}_{1}=\frac{2}{3}a$，
而$v≤\frac{aqB}{3m}$的带电粒子在磁场中的运动半径小于r，进入电场后在电场力的作用下减速运动，不能打到CD上又反向加速，以原速率进入磁场，又在磁场中转$\frac{3}{4}$周后，垂直电场方向进入电场，在电场中作类平抛运动，若打在荧光屏AD上，则有：
2r=vt，
t=$\frac{2r}{v}=\frac{2m}{qB}$．
此时间与入射速度无关，能垂直进入电场的带电粒子将以相同的偏转距离打到荧光屏AD上，偏转距离为：$y=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}=\frac{1}{6}a$，
其中速率$v=\frac{aqB}{12m}$带电粒子在磁场中运动半径为：$r′=\frac{a}{12}$，y=$\frac{1}{6}a=2r′$，该粒子恰好打在A点，
故荧光屏AD上亮线长度为：${l}_{2}=\frac{2a}{3}-\frac{a}{6}=\frac{1}{2}a$．
答：（1）恰能打到荧光屏C D上的带电粒子的入射速度为$\frac{aqB}{3m}$；
（2）AD、CD两块荧光屏上形成亮线的长度为$\frac{1}{2}a$．

点评 本题考查了粒子在电磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程，应用平衡条件与牛顿第二定律即可正确解题，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的前提与关键．