Question

18．如图所示，一个50匝的矩形线圈abcd，ab边长为30cm，ad边长为20cm，在磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，绕与ab平行的中心轴OO′转动，转速n=6r/s，线圈始于中性面，求：
（1）线圈中产生的感应电动势的频率、周期；
（2）$\frac{1}{48}$s末感应电动势的瞬时值；
（3）$\frac{1}{48}$s内感应电动势的平均值；
（4）感应电动势的最大值和有效值．

Answer 1

分析 （1）已知转速n=6r/s，可知频率与转速数值相等．再由T=$\frac{1}{f}$求出周期．
（2）由E_m=NBSω求出感应电动势的最大值，从图示位置开始计时，线圈转动过程中的感应电动势的瞬时表达式形式为 e=E_mcosωt，将t=$\frac{1}{48}$s代入求感应电动势的瞬时值．
（3）根据法拉第电磁感应定律求感应电动势的平均值．
（4）线圈产生正弦式交变电流，由E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$求感应电动势的有效值．

解答 解：（1）据题：转速n=6r/s，则感应电动势的频率为：f=6Hz
周期为：T=$\frac{1}{f}$=$\frac{1}{6}$s
（2）线圈转动的角速度为：ω=2πn=12π rad/s
感应电动势的最大值为：E_m=nBSω=50×0.5×（0.3×0.2）×12π V=18π V
线圈始于中性面，则感应电动势的瞬时值表达式为：e=E_m•sinωt=18πsin12πt V
当t=$\frac{1}{48}$s时，代入上式得：e=9$\sqrt{2}$π V
（3）当t=$\frac{1}{48}$s时，线圈从中性面转过的角度为：α=$\frac{t}{T}•2π$=$\frac{π}{4}$
根据法拉第电磁感应定律得感应电动势的平均值为：
$\overline{E}$=n$\frac{△Φ}{△t}$=n$\frac{BS-BScos\frac{π}{4}}{△t}$=50×$\frac{0.5×（0.3×0.2）×（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{\frac{1}{48}}$V=50×1.44（2-$\sqrt{2}$）V≈42V
（4）感应电动势的有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×18π V=9$\sqrt{2}$π V
答：（1）感应电动势的频率为6Hz，周期为$\frac{1}{6}$s．
（2）当t=$\frac{1}{48}$s时，感应电动势的瞬时值是9$\sqrt{2}$π V．
（3）当t=$\frac{1}{48}$s时，感应电动势的平均值是42V．
（4）感应电动势的最大值为18π V，有效值是9$\sqrt{2}$π V．

点评 本题是简单的交流发电机的原理，考查综合应用法拉第定律、欧姆定律等电磁学规律分析实际问题的能力．要注意只有当线圈从中性面计时时，感应电动势的瞬时值表达式才为e=E_m•sinωt．