Question

4．如图所示，匀强磁场B=0.50T，矩形线圈匝数N=50，边长L_bc=0.20m，L_ad=0.20m，以n=1800r/min的转速匀速转动，在线圈平面通过中性面时开始计时．试求：
（1）交变电动势的表达式；
（2）若线圈总电阻为2Ω，线圈外接电阻R为8Ω，当线圈转过$\frac{π}{2}$时，通过导线截面的电量；   
（3）保留上一问数据，求1s内电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）从中性面开始计时，线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=E_msinωt；角速度为ω=2πn；根据E_m=nBSω，求出感应电动势的最大值；得到瞬时值
（2）根据法拉第电磁感应定律求解交变电动势的平均值，从而得出平均感应电流，根据q=It求出通过电阻R的电荷量．
（3）根据焦耳定律求解1s内产生的热量；

解答 解：（1）线圈的角速度：
ω=2πn=2π×$\frac{1800}{60}$rad/s=60πrad/s
感应电动势的最大值：
E_m=NBSω=50×0.5×（0.2×0.2）×60π=60πV
故线圈中感应电动势的瞬时值表达式为：
e=E_msinωt=60πsin60πt（V）
（2）根据法拉第电磁感应定律，线圈由图示位置转过$\frac{π}{2}$的过程中，交变电动势的平均值为：$\overline{E}=n\frac{△∅}{△t}$ 
q=$\overline{I}•△t=\frac{\overline{E}}{R+r}•△t$=$n\frac{△∅}{R+r}$=0.1C
（3）感应电动势的有效值为$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=30\sqrt{2}πV$，回路中的电流为I=$\frac{E}{R+r}=3\sqrt{2}πA$，R产生的热量Q=${I}^{2}Rt=（3\sqrt{2}π）^{2}×8×1J=144{π}^{2}J$
答：（1）交变电动势的表达式为e=60πsin60πt（V）；
（2）若线圈总电阻为2Ω，线圈外接电阻R为8Ω，当线圈转过$\frac{π}{2}$时，通过导线截面的电量为0.1C；   
（3）1s内电阻R上产生的焦耳热为144π²J．

点评 解决本题的关键掌握线圈转动产生电动势的瞬时表达式，注意计时起点，以及知道电动势峰值的公式．
掌握感应电荷量的经验公式q=n$\frac{△∅}{R+r}$，知道用有效值求热量．