Question

8．如图所示，一根长为L=0.2m的刚性轻绳，一端固定在O点，另一端连接一个质量为m的小球，当球自由悬挂时，球处在最低点A点，此时给球一个水平初速度v₀让它运动起来，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s²
（1）要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，求v₀满足的条件；
（2）若小球在A点获得的水平初速度v₀=$\sqrt{7}$m/s，试确定小球能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，小球应做完整的圆周运动或在圆心下方运动．小球恰好能通过最高点时，向心力等于小球的重力，由此列式求最高点的最小值；恰好到达与圆心O等高位置时速度为零，再由机械能守恒定律求v₀满足的条件．
（2）将v₀=$\sqrt{7}$m/s与上述条件比较，分析小球的运动情况，再机械能守恒定律可以求出小球达到的最大高度．

解答 解：（1）小球在运动过程中绳子始终不松弛，有两种情况：
第一情况：小球做完整的圆周运动，设小球通过最高点的最小速度为v．
则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgL+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得  v₀=$\sqrt{5gL}$=$\sqrt{10}$m/s
所以，要使小球做完整的圆周运动，必须满足的条件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s．
第二情况：小球在圆心下方运动，上升的最高点与圆心O等高，则由机械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgL，解得 v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{2}$m/s
在这种情况下，绳子始终不松弛，v₀满足的条件是：0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
综上，v₀满足的条件是：v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s．
（2）当v₀=$\sqrt{7}$m/s时，与上述条件对比可知，小球上升到圆周运动的最高点前离开圆轨道，设小球能上升的最大高度为h，此时小球的速度为v₁．绳子与竖直方向的夹角为α．
则有 mgcosα=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
根据机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgL（1+cosα）+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
由几何关系得 h=L（1+cosα）
联立解得 h=0.3m
答：
（1）要保证小球在运动过程中绳子始终不松弛，v₀满足的条件是v₀≥$\sqrt{10}$m/s或0＜v₀≤$\sqrt{2}$m/s；
（2）若小球在A点获得的水平初速度v₀=$\sqrt{7}$m/s，小球能上升的最大高度是0.3m．

点评 解决本题的关键要掌握圆周运动的临界条件：在最高点时，最小向心力等于重力．绳子刚松驰时，绳子的拉力为零，由重力指向圆心的分力提供向心力．要熟练应用向心力公式、机械能守恒定律即可正确解题．