Question

2．“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h₁和h₂（设地球半径为R），“天宫一号”的运行周期约为90分钟，则求：
（1）“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为v₁：v₂
（2）“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比a₁：a₂
（3）“天宫一号”与地球同步卫星的轨道半径大小之比r₁：r₂．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力列式，得到线速度、向心加速度和角速度的表达式，再求解即可．

解答 解：（1、2）根据G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=ma，又 r=R+h
则得 v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}}$，
向心加速度大小之比为$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{（R+{h}_{2}）^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，
（3））“天宫一号”与地球同步卫星的轨道半径大小之比$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$．
答：（1）“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为$\sqrt{\frac{R+{h}_{2}}{R+{h}_{1}}}$；
（2）“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为$\frac{{（R+{h}_{2}）}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（3）“天宫一号”与地球同步卫星的轨道半径大小之比为$\frac{R+{h}_{1}}{R+{h}_{2}}$．

点评 本题重点是对万有引力提供向心力各种表达式的变形和引用，需要熟练掌握万有引力和圆周运动公式．