Question

4．如图，A、C、D分别为光滑绝缘水平面内一直角三角形的三个顶点，两直角边长分别为a和b． 现有一质量为m、电荷量为+q的带电小球，以初速度v₀从顶点A沿直角边射出，整个运动过程中因为磁场或电场的作用恰好能经过顶点D．
（1）若只存在竖直方向的匀强磁场，试求磁感应强度的大小和方向；
（2）若只存在水平方向的匀强电场，试求电场强度的大小与方向间的关系．

Answer 1

分析 （1）仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，画出带电小球做圆周的运动轨迹，根据几何关系求出半径，根据牛顿第二定律列式求解B即可；
（2）仅在电场力的作用下，画出带电小球的运动轨迹，以A点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设场强E的方向与x轴正方向成α角，根据运动学基本公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）仅在洛伦兹力的作用下，带电小球做圆周的运动轨迹如图所示，

设轨道半径为r，根据几何关系有
（a-r）²+b²=r²
根据牛顿第二运动定律得：
$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得
$B=\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，依左手定则可知磁感应强度方向竖直向上．
（2）仅在电场力的作用下，带电小球的运动轨迹如图所示，

以A点为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设场强E的方向与x轴正方向成α角．
在x轴方向有
qE_x=ma_x，
$a=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$，
在y轴方向有
qE_y=ma_y，
$b=-{v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$，
而$tanα=\frac{{E}_{y}}{{E}_{x}}$，
由以上各式解得
$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，该关系式需要满足的条件是$tanα＞\frac{b}{a}$．
答：（1）若只存在竖直方向的匀强磁场，则磁感应强度的大小为$\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+{b}^{2}）}$，方向竖直向上；
（2）若只存在水平方向的匀强电场，电场强度的大小与方向间的关系为$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，该关系式需要满足的条件是$tanα＞\frac{b}{a}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在电磁场中的运动，知道仅在洛伦兹力的作用下，带电小球做圆周运动，要求同学们能画出粒子的运动轨迹，能根据几何关系求解半径，难度适中．