Question

3．如图所示，M₁N_lP_lQ_l和 M₂N₂P₂Q₂为在同一竖直面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．导轨的M₁N_l段与M₂N₂段相互平行，距离为L；P_lQ_l段与P₂Q₂段也是平行的，距离为L/2． 质量为m金属杆a、b垂直与导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端系在金属杆b，另一端绕过定滑轮与质量也为m的重物c相连，绝缘轻线的水平部分与P_lQ_l平行且足够长．已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为R，重力加速度为g．
（1）若保持a固定．释放b，求b的最终速度的大小；
（2）若同时释放a、b，在释放a、b的同时对a施加一水平向左的恒力F=2mg，当重物c下降高度为h时，a达到最大速度，求：
①a的最大速度；
②才释放a、b到a达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成的回来中产生的电能．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求解电流，再分别以b、c为研究对象，根据平衡条件列方程求解；
（2）①根据牛顿第二定律列方程求解a和b加速度关系，进一步得到速度关系，再根据平衡条件列方程求解；
②根据功能关系求解两杆与导轨构成的回路中产生的电能．

解答 解：（1）当b的加速度为零时，速度最大，设此时速度为v_m，
则根据法拉第电磁感应定律可得：E=B$•\frac{L}{2}{v}_{m}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得电流为：I=$\frac{E}{R}$
分别以b、c为研究对象，根据平衡条件可得：T=BI$•\frac{L}{2}$，T=mg
联立解得：v_m=$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）①．在加速过程的任一时刻，设aba的加速度大小分别为a_a、a_bc，电流为i，轻绳的拉力为T，分别以a、b、c为研究对象，
根据牛顿第二定律可得：F-BiL=ma_a，T-Bi$\frac{L}{2}$=ma_bc，mg-T=ma_bc，
联立解得：a_a=4a_bc；
设a达到最大速度v_a时，b的速度为v_b，由上式可知：v_a=4v_b
当a的集散地为零时，速度达到最大，根据平衡条件可得：2mg=BiL
根据法拉第电磁感应定律有：E=BLv_a+B$\frac{L}{2}{v}_{b}$
联立解得：v_a=$\frac{16mgR}{9{B}^{2}{L}^{2}}$，v_b=$\frac{4mgR}{9{B}^{2}{L}^{2}}$；
②．设重物下降的高度为h时，a的位移为x_a，故x_a=4h
根据功能关系有：2mgx_a+mgh=E_a+E_b+$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$   
联立解得：E_电=E_a+E_b=9mgh-m（$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{L}^{2}}$）²．
答：（1）若保持a固定．释放b，b的最终速度的大小为$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）①a的最大速度为$\frac{16mgR}{9{B}^{2}{L}^{2}}$；
②才释放a、b到a达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成的回来中产生的电能为9mgh-m（$\frac{4mgR}{3{B}^{2}{L}^{2}}$）²．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．