Question

18．平罗中学第二课堂课外兴趣小组设计了一款氢气燃料的汽车，质量为m=2.0×10³kg，发动机的额定输出功率为80kW，行驶在平直公路上时所受阻力恒为车重的0.1倍．若汽车从静止开始先匀加速启动，加速度的大小为a=1.0m/s²．达到额定输出功率后，汽车保持功率不变加速行驶直到获得最大速度后才匀速行驶．（g=10m/s²）
试求：
（1）汽车的最大行驶速度
（2）汽车匀加速启动阶段结束时的速度
（3）如果汽车以额定功率80kW启动，从静止到获得最大行驶速度通过位移800m，则从静止到获得最大行驶速度所用的时间是多少．

Answer 1

分析 （1）当牵引力等于阻力时，汽车的速度最大，由功率公式P=Fv可求得最大行驶速度；
（2）由牛顿第二定律可求得匀速运动时的牵引力，匀加速启动阶段结束时功率达额定功率，由功率公式可求得匀加速结束时的速度；
（3）汽车行驶的总时间分为匀加速直线运动和变加速的时间，变加速过程由动能定理可求得时间．

解答 解：（1）当汽车的合力为零，做匀速直线运动时速度最大，此时牵引力等于阻力，即 F=f
根据题意得 f=0.1mg=0.1×2.0×10³×10N=2.0×10³N
设最大速度为v_m．
根据公式  P=Fv_m得：
  v_m=$\frac{P}{F}$=$\frac{P}{f}$=$\frac{8×1{0}^{4}}{2×1{0}^{3}}$m/s=40m/s
即汽车的最大行驶速度为40m/s．
（2）汽车匀加速启动阶段结束时汽车的实际功率刚好达到额定功率，设此时汽车的速度为v₁．
汽车匀加速运动时，由牛顿第二定律得
   F-f=ma
得 F=4×10³N
由P=Fv₁，得 v₁=$\frac{P}{F}$=$\frac{8×1{0}^{4}}{4×1{0}^{3}}$m/s=20m/s
即汽车匀加速启动阶段结束时的速度为20m/s．
（3）匀加速运动的时间为 t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=$\frac{20}{1}$s=20s
位移为 x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$=$\frac{20}{2}×20$m=200m
则汽车达到额定功率后运动位移为 x₂=800m-200m=60mm
设汽车恒定功率启动阶段的时间为t₂，由动能定理得
  Pt₂-fx₂=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv₁²，
得 t₂=22.5s
所以，总的时间为 t=t₁+t₂=42.5s
答：
（1）汽车的最大行驶速度40m/s；
（2）汽车匀加速启动阶段结束时的速度20m/s；
（3）汽车从静止到获得最大行驶速度所用的总时间为42.5s．

点评 本题的关键要明确汽车的运动过程，把握两个临界条件：一是速度最大的条件：合力为零．二是匀加速结束的条件：汽车的实际功率等于额定功率．要注意，对于变加速运动过程，不能根据运动学公式求时间．