Question

4．我国于2008年9月25日成功发射了围绕地球做圆周运动的“神州7号”载人飞船，宇航员翟志刚顺利进行了太空出舱活动．
（1）已知飞船质量为m，点火后，火箭竖直匀加速升空，T秒末，火箭上升的高度为H处，求火箭匀加速升空的过程中，座椅对宇航员的支持力约为其重力的多少倍？
（2）若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g．假设“神州7号”载人飞船上的宇航员离开飞船后身上的速度计显示其对地心的速度为v，宇航员及其设备的总质量为M，求该宇航员距离地球表面的高度．
（3）已知宇航员及其设备的总质量为M，宇航员通过向后喷出氧气而获得反冲力，每秒钟喷出的氧气质量为m．为了简化问题，设喷射时对气体做功的功率恒为P且喷出气体的速度远远大于飞船的速度，在不长的时间t内宇航员及其设备的质量变化很小，可以忽略不计．求喷气t秒后宇航员获得的动能．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求解
（2）根据万有引力提供向心力和重力等于万有引力联立求解
（3）根据动能定理和动量守恒定律联立求解

解答 解：（1）点火后火箭竖直匀加速升空，由$H=\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$得加速度$a=\frac{2H}{{T}_{\;}^{2}}$．设座椅对宇航员的支持力约为其重力的n倍，
对宇航员由牛顿第二定律得nmg-mg=ma
解得：$n=\frac{a}{g}+1=\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$
（2）设地球质量为${M}_{0}^{\;}$，在地球表面，对于质量为m的物体有，$mg=G\frac{{M}_{0}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
离开飞船后的宇航员绕地球做匀速圆周运动，有$G\frac{{M}_{0}^{\;}M}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
联立解得：$r=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}$
该宇航员距离地球表面的高度$h=r-R=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$
（3）因为喷射时对气体做功的功率恒为P，而单位时间内喷气质量为m，故在t时间内，据动能定理
$P×t=\frac{1}{2}mt•{v}_{\;}^{2}$
可求得喷出气体的速度为：$v=\sqrt{\frac{2P}{m}}$，
另一方面探测器喷气过程中系统动量守恒，则：0=mt•v-Mu
又宇航员获得的动能，${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M{u}_{\;}^{2}$
联立解得：${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M（\frac{mt}{M}•\sqrt{\frac{2P}{m}}）_{\;}^{2}=\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$
答：（1）座椅对宇航员的支持力约为其重力的$\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$倍
（2）该宇航员距离地球表面的高度$\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$．
（3）喷气t秒后宇航员获得的动能$\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$

点评 本题考查了天体运动和动能定理的知识，处理这类题目的主题思路是万有引力提供天体圆周运动所需要的向心力，根据需要选择合适的向心力公式．