Question

13．如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F₁，当从M中挖去两个半径为r=$\frac{R}{2}$的球体时，剩下部分对m的万有引力为F₂．求F₁、F₂的比值．

Answer 1

分析 根据万有引力定律公式分别求出挖去部分对质点的引力大小，结合整体对质点的引力大小，求出剩余部分对质点的引力大小，从而得出F₁、F₂的比值．

解答 解：未挖去前，整体对质点的引力大小为：${F}_{1}=G\frac{Mm}{（2R）^{2}}$，
挖去的左边小球对质点的引力为：$F′=G\frac{{m}_{0}m}{（2.5R）^{2}}$，
挖去的右边小球对质点的引力为：$F″=G\frac{{m}_{0}m}{（1.5R）^{2}}$，
根据V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$知，挖去两个球的体积分别是原来球体体积的$\frac{1}{8}$，则挖去的每个球的质量为$\frac{1}{8}M$，
可知F₂=F₁-F′-F″=$G\frac{157Mm}{900{R}^{2}}$，
解得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{225}{157}$．
答：F₁、F₂的比值为225：157．

点评 本题主要考查了万有引力定律得直接应用，注意球体对质点的距离为球心到质点的距离．