题目内容

5．如图所示，O′B以O为圆心半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，与水平轨道相切与O′，AB是半径为$\frac{R}{2}$的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，过A点的切线水平，一质量为m的小物块紧靠一根压缩的弹簧（弹簧固定在水平轨道的最右端），此时小物块与O′的距离为L，与水平轨道间的动摩擦因数为μ．现突然释放小物块，小物块被弹出后，恰好能够到达圆弧轨道的最高点A，取g=10m/s2，求：
（1）小物块的落点距A的水平距离d；
（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能Ep．

分析 （1）小物块恰好能够到达圆弧轨道的最高点A时，由重力提供向心力，列式可求出小物块通过A点的速度大小，再根据平抛运动的知识求出水平位移，即可得到小物块的落点距A的水平距离d；
（2）从小物块被弹簧弹出到运动到A点的过程，弹簧原来具有的弹性势能转化为小物块的机械能和系统的内能，根据能量守恒定律求解．

解答 解：（1）设小物块到达圆弧轨道的最高点A时速度大小为vA，因为小物块恰好能到达A点，故向心力刚好由重力提供，有：
mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得：vA=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小物块由A射出后做平抛运动，由平抛运动的规律得：
竖直方向有：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：d=vAt
联立解得：d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，
即小物块的落点距O′的距离d为$\frac{\sqrt{6}}{2}$R．
（2）从小物块被弹簧弹出到运动到A点的过程，小物块动能增加量为：△Ek=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{4}$mgR
重力势能增加量为：△EpG=mg•$\frac{3}{2}$R=$\frac{3}{2}$mgR
摩擦所产生的内能为：Q=μmgL
由能量守恒定律可得物块释放前弹簧具有的弹性势能为：
Ep=△Ek+△EpG+Q=$\frac{7}{4}$mgR+μmgL
答：（1）小物块的落点距A的水平距离d是$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）小物块释放前弹簧具有的弹性势能Ep是$\frac{7}{4}$mgR+μmgL．

点评 本题是圆周运动、平抛运动与机械能守恒定律和动能定理的综合应用，关键分析物块在最高点A时向心力的来源，判断能量如何转化．要注意圆形轨道半径是变化的．

练习册系列答案
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