Question

15．如图所示，在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，O为悬点，O到水平地面上的竖直高度为$\frac{3}{2}$a，已知绳长为a，绳与竖直方向夹角为θ=60°，某时刻绳被剪断，小球将落到P 点，求：
（1）小球做圆周运动的速度v；
（2）P到O点在水平地面上投影点的距离．

Answer 1

分析 （1）在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解速度v．
（2）绳被剪断，小球做平抛运动，根据平抛运动的规律和几何关系列式，求解即可．

解答 解：（1）小球所受合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{asinθ}$
得：v=$\sqrt{gatanθsinθ}$=$\sqrt{\frac{3}{2}ga}$
（2）绳被剪断，小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有：
x=vt
$\frac{3}{2}a$-acosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数值解得：x=$\sqrt{3}$a
由几何关系得，P到O点在水平地面上投影点的距离为：
S=$\sqrt{{x}^{2}+（asinθ）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a
答：（1）小球做圆周运动的速度v是$\sqrt{\frac{3}{2}ga}$；
（2）P到O点在水平地面上投影点的距离是$\frac{\sqrt{15}}{2}$a．

点评 本题考查圆锥摆以及平抛运动的知识．对于圆锥摆，关键分析向心力来源，运用牛顿运动定律处理．