Question

1．人类一直在不懈寻找适宜人类居住的太外行星．发现绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待．该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍、公转周期为13年．“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍，设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（　　）

• A． 行星“G1-58lc”和地球的公转半径的3次方与其公转周期的2次方之比相等
• B． 在行星“G1-58lc”和地球上发时卫星的第一宇宙速度相同
• C． 不考虑各星球白转的影响，如果人到了行星“Glicsc581”表面上，其休重是地球上的$\frac{8}{3}$倍
• D． 该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的$\frac{13\sqrt{31}}{10}$倍

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和该行星与“Gliese581”的距离．根据万有引力近似等于重力，求出该行星表面与地球表面重力加速度之比，即可求出体重关

解答 解：A、根据开普勒第三定律因为它们不是围绕同一中心天体运动，所以行星“G1-58lc”和地球的公转半径的3次方与其公转周期的2次方之比不相等，故A错误．
B、当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，M是行星的质量，R是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{{v}_{行}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{行}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{\;}}{{R}_{行}^{\;}}}=\sqrt{\frac{6}{1}×\frac{1}{1.5}}=\frac{2}{1}$，即该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度不同，故B错误
C、由万有引力近似等于重力，得$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得行星表面的重力加速度为$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，则得该行星表面与地球表面重力加速度之比$\frac{{g}_{行}^{\;}}{{g}_{地}^{\;}}=\frac{{M}_{行}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{行}^{2}}=\frac{6}{1}×\frac{{1}_{\;}^{2}}{1．{5}_{\;}^{2}}=\frac{8}{3}$，所以如果人到了该行星，其体重是地球上的$\frac{8}{3}$倍，故C正确
D、根据万有引力提供向心力，列出等式$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，行星公转周期13年，将已知条件代入解得：行星“Gl-581c”的轨道半径与地球轨道半径之比$\frac{{r}_{行G}^{\;}}{{r}_{日地}^{\;}}=\root{3}{\frac{{M}_{G}^{\;}}{{M}_{太}^{\;}}\frac{{T}_{G}^{2}}{{T}_{地日}^{2}}}=\root{3}{0.31×1{3}_{\;}^{2}}$，故D错误．
故选：C

点评 此题中行星绕恒星、卫星绕行星的类型相似，关键要建立模型，根据万有引力提供向心力，万有引力近似等于重力进行求解．