Question

7．如图所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ间距为L，与水平面成θ角固定放置，导轨上下两端分别与固定电阻R₁和R₂相连，且R₁=R₂=R．整个导轨面均处于匀强磁场中，并与磁场方向垂直．有一质量为m的导体棒ab与导轨垂直放置，接触面粗糙且始终接触良好，导体棒接入电路中的电阻也为R．现让导体棒从静止释放沿导轨下滑，当导体棒运动达到稳定状态时速率为υ，此时整个电路消耗的电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$．已知当地的重力加速度为g，导轨电阻不计．求：
（1）在上述稳定状态时，ab中的电流I和磁场的磁感应强度B．
（2）如果ab达到稳定状态时，沿导轨下滑的距离为x，在这一过程中回路产生的电热是多少？

Answer 1

分析 （1）当导体棒匀速运动时达到稳定状态，此时速率为V，重力功率为mgVsinθ．由E=BLV、闭合电路的欧姆定律、电功率的计算公式P_电=I²R_总，得到回路的总电功率P_电，根据电功率为重力功率的$\frac{3}{4}$，列式求磁感应强度B．并求出通过ab棒的电流I；
（2）根据重力功率等于电功率与克服摩擦力做功功率之和，列式求出摩擦力大小，由能量守恒求回路中产生的电热．

解答 解：（1）当导体棒以速度v匀速下滑时电路中的总电阻为：R_总=$\frac{3}{2}$R
感应电动势为：E=BLv
导体棒中的电流为：I=$\frac{E}{{R}_{总}}$，
总电功率为：P_电=I²R_总
重力的功率为：P_重=mgv sinθ
根据题意有：P_电=$\frac{3}{4}$P_重
解得：B=$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$，I=$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$；
（2）设导体棒与导轨间的滑动摩擦力大小为f，根据能的转化和守恒定律可知：
 则有 $\frac{1}{4}$mgvsinθ=fv
所以：f=$\frac{1}{4}$mgsinθ
根据能的转化和守恒定律可知：mg xsinθ=fx+$\frac{1}{2}$mv²+Q
解得：Q=$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}$mv²．
答：（1）在上述稳定状态时，ab中的电流为$\sqrt{\frac{mgvsinθ}{2R}}$，磁场的磁感应强度为$\frac{3}{2L}\sqrt{\frac{mgRsinθ}{2v}}$．
（2）如果ab达到稳定状态时，沿导轨下滑的距离为x，在这一过程中回路产生的电热是$\frac{3}{4}$mgsinθ•x-$\frac{1}{2}$mv²．

点评 解答本题关键是通过分析功率关系，求出磁感应强度和摩擦力，是电磁感应与电路结合的题目，明确电路的结构解决问题．同时，对于感应电量，要很熟练地根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It进行推导．