Question

9．开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立．如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道I上绕月球运行，周期为T．月球的半径为R，引力常量为G．某时刻嫦娥三号卫星在4点变轨进入椭圆轨道II，在月球表面的B点着陆．A、O、B三点在一条直线上．
求：（1）月球的密度；
（2）在II轨道上运行的时间．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合卫星的轨道半径和周期求出月球的质量，根据月球的体积求出月球的密度．
（2）根据几何关系求出椭圆轨道的半长轴，结合开普勒第三定律求出在II轨道上运行的时间．

解答 解：（1）由万有引力充当向心力：$\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$，
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
月球的密度：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$，解得$ρ=\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$．
（2）椭圆轨道的半长轴：$a=\frac{R+r}{2}$，
设椭圆轨道上运行周期为T₁，由开普勒第三定律有：$\frac{a^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}$，
在Ⅱ轨道上运行的时间为t：$t=\frac{T_1}{2}$，
解得$t=\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．
答：（1）月球的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（2）在II轨道上运行的时间为$\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．

点评 本题考查了万有引力定律和开普勒第三定律的综合运用，知道在Ⅱ轨道上运行的时间等于椭圆轨道运动周期的一半，结合开普勒第三定律进行求解．