Question

20．“嫦娥四号”计划于2017年发射升空，假设“嫦娥四号”发射到达月球后，先以圆周运动绕月飞行进行探测活动，它先在离月球表面较高的轨道上运动，测得离月球表面的高度为h，绕月飞行的周期为T，再降低到离月球表面高度只有$\frac{h}{2}$的轨道上继续做圆周运动，测得运动的周期为kT，引力常量为G，由此不能测得（　　）

• A． 月球的质量
• B． 月球的密度
• C． 月球的第一宇宙速度
• D． 月球的同步卫星高度

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，分别列出在两个不同高度的轨道上的万有引力等于向心力，列方程组求出月球质量和月球半径，根据密度公式分析密度，再分析月球的近地卫星的速度即第一宇宙速度

解答 解：A、设月球的质量为M、月球的半径为R，距地面高度为h时有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$得：$G\frac{M}{（R+h）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$…①
距地面$\frac{h}{2}$时：$G\frac{Mm}{（R+\frac{h}{2}）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{（kT）_{\;}^{2}}（R+\frac{h}{2}）$，得：$G\frac{M}{（R+\frac{h}{2}）_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{（kT）_{\;}^{2}}（R+\frac{h}{2}）$…②
联立①②可得月球的质量M和月球的半径R，故A可测；
B、根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，月球的质量和半径能测得，月球的体积可以求出，可以测得月球的密度，故B可测；
C、月球的第一宇宙的速度即月球的第一宇宙的速度$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，月球的第一宇宙速度可测得，故C可测；
D、因为不知道月球的自转周期，无法测得月球的同步卫星的高度，故D不能测；
本题选不能测得的，故选：D

点评 月球表面的重力与万有引力相等，卫星绕月球做圆周运动万有引力提供圆周运动的向心力，这个是万有引力问题经常用的表达式．