Question

17．如图，质量为m的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，不计滑轮的摩擦．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向，重力加速度为g．
（1）求弹簧的压缩量；
（2）若在挂钩上挂物体C并从静止状态释放（可以证明A、C可在竖直方向做简谐运动），已知它恰好能使B离开地面但不继续上升，求C与A的质量比例关系．

Answer 1

分析 （1）对A进行受力分析，结合共点力的平衡即可求出；
（2）对B进行受力分析，当B能恰好离开地面时，结合共点力平衡与胡克定律即可求出弹簧的弹力和伸长量，结合几何关系求出A上升的距离（C下降的距离），最后由功能关系即可求出，

解答 解：（1）开始时A处于平衡状态，受到的弹簧的拉力与重力大小相等，即：mg=kx₁
所以：${x}_{1}=\frac{mg}{k}$
（2）当B恰好要离开地面时，受到的弹簧的拉力等于B物体的重力，所以：2mg=kx₂
所以弹簧的伸长量：${x}_{2}=\frac{2mg}{k}$
该过程中A上升的距离：$△x={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3mg}{k}$
由于绳子包括伸长，所以C下降的距离也是$\frac{3mg}{k}$
在A上升，C下降的过程中，C的重力势能减小，A的重力势能增大，同时弹簧的弹性势能也增大，由于A与C的初速度、末速度都是0，所以
${m}_{C}g△x-mg△x=\frac{1}{2}k{x}_{2}^{2}-\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$
联立各方程得：m_C=1.5m
答：（1）弹簧的压缩量是$\frac{mg}{k}$；
（2）若在挂钩上挂物体C并从静止状态释放，它恰好能使B离开地面但不继续上升，C与A的质量比例关系是m_C=1.5m．

点评 该题结合共点力的平衡考查机械能守恒，第一问比较简单，解答的关键是第二问中当B恰好要离开地面时但不继续上升，受到的弹簧的拉力等于B物体的重力，由此求出弹簧的伸长量．